Elementarne funkcije
Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:
Inverzne trigonometrijske funkcije
Arkus sinus $f(x)=\arcsin x$
Funkcija $f(x)=\sin x$ nema inverznu funkciju, jer nije bijekcija. Na primer, svi
brojevi oblika $\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k \in Z$ preslikavaju se ovom funkcijom u broj $1$. Međutim, posmatrajmo
restrikciju funkcije $f(x)$ na $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, tj. funkciju
$$f_{1}:[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1, 1], f_{1}(x)=\sin x.$$
Funkcija $f_{1}(x)$ je rastuća funkcija, pa postoji njena inverzna funkcija $f^{-1}_{1}:[-1, 1]\rightarrow[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
koja se naziva arkus sinus i označava se sa $F(x)=\arcsin x$.
Grafik funkcije $F(x)=\arcsin x$ simetričan je grafiku funkcije $f_{1}(x)$ u odnosu na pravu $y=x$.
Prema svojstvima uzajamno inveznih funkcija važe
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $\arcsin x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
Osnovna svojstva funkcije $F(x)=\arcsin x$, $x \in [-1, 1]$ su:
- $D(F)=[−1,1]$, $R(F)=[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
- funkcija $F$ je neparna, tj. važi:
$$\arcsin(-x)=-\arcsin x, x \in [-1; 1]$$
- funkcija je pozitivna za $x \in (0, 1]$ i negativna za $x \in [-1, 0)$
- nula funkcija $F$ je $x=0$
- funkcija je monotono rastuća