„Визуелизација Поенкареовог диск модела коришћењем програмског пакета GeoGebra“
Марина Јовановић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Потенција тачке у односу на круг

      Теорема: Нека су у еуклидској равни дати круг $k$ и произвољна тачка $P$ таква да не припада кругу $k$.
Нека су дате праве $p$ и $q$ такве да садрже тачку $P$ и секу круг $k$.

1. Ако права $p$ сече круг $k$ у тачкама $A$ и $B$, а права $q$ у тачкама $C$ и $D$, тада важи $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
2. Ако је тачка $P$ изван круга $k$ и тачка $T$ додирна тачка круга $k$ и тангенте $t$ из тачке $P$ на круг $k$, тада важи $PA\cdot PB=PT^2$.

      Следећи аплет представља визуелизацију доказа ове теореме.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

      Дефиниција: Производ $PA\cdot PB$ који зависи искључиво од тачке $P$ и круга $k$, који је уведен претходном теоремом, називамо потенција тачке $P$ у односу на круг $k$ и означавамо $p\left(P,k\right)$. Ако $P\in k$ онда је $p\left(P,k\right)=0$.

Можемо увести још један појам:

      Дефиниција: Скуп свих тачака равни чије су потенције у односу на два неконцентрична круга $k_1$ и $k_2$ међусобно једнаке називамо потенцијална оса или радикална оса тих кругова.

Нека су дата два неконцентрична круга $k_1$ и $k_2$. Разликујемо три случаја:

1. кругови $k_1$ и $k_2$ се секу у двема тачкама,
2. кругови $k_1$ и $k_2$ се додирују и
3. кругови $k_1$ и $k_2$ немају заједничких тачака.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

Напомена:
      Могуће је померати кругове $k_1$ и $k_2$. За одговарајуће кругове $k_1$ и $k_2$ добија се приказ радикалне осе тих кругова, уколико она постоји.

      Дефиниција: Скуп свих кругова равни $\mathbb{E}^2$ од којих свака два круга имају исту радикалну осу $r$ називамо прамен кругова или систем коаксијалних кругова, а праву $r$ радикална оса тог прамена кругова.

У еуклидској равни можемо разликовати три врсте прамена кругова (елиптички, параболички и хиперболичлки).
      Ако се кругови тог прамена секу у двема тачкама тај прамен називамо елиптички прамен кругова.
      Ако се кругови тог прамена додирују тај прамен називамо параболички прамен кругова.
      Ако кругови тог прамена немају заједничких тачака тај прамен називамо хиперболички прамен кругова.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com