Elementarne funkcije

Stepene funkcije

Stepen sa racionalnim izložiocem

Da bi izrazi $x^{\frac{a}{b}}$ i $y^{\frac{c}{d}}$ imali značenje, mora se proširiti pojam stepena. Pri tome će biti korišćen pojam $n$-tog korena, uz oslanjanje na sledeća dva uslova:
1. Osnovno svojstvo stepena $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ koje važi za cele brojeve $m$ i $n$ mora se očuvati i za izložioce $r\in Q$.
2. Vrednost stepena $a^{r}$, gde je $a>0$, mora biti pozitivan broj za ma koji razlomak $r$

Neka je $a\in R^{+}$ i $\frac{m}{n}\in Q, m\in Z, n\in N$. Stepen broja $a$ s izložiocem $\frac{m}{n}$ definiše se kao $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$.
Ako je $a=0$, a $\frac{m}{n}>0$, onda je $a^{\frac{m}{n}}=0$; ako je $m=1$ onda je $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$; ako je $n=1$, onda je stepen sa celim izložiocem.

Stepen s racionalnim izložiocem za negativnu osnovu nije definisan zbog toga što se u nekim slučajevima ne bi mogla primeniti poznata svojstva stepena.

Svojstva stepena s racionalnim izložiocem
Ako je osnova stepena pozitivan broj, svojstva stepena s celim izložiocem ostaju u važnosti i za stepene s racionalnim izložiocem. To znači da za $a>0$ i ma koje racionalne brojeve $p$ i $q$ važi:
$$a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}$$ $$a^{p}:a^{q}=a^{p-q}$$ $$(a^{p})^{q}=a^{pq}$$ Takođe, za $a>0$ i $b>0$ i za ma koji racionalan broj $p$ važi:
$$(ab)^{p}=a^{p}b^{p}$$ $$(\frac{a}{b})^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}$$ Napomena 1. Ako je $a\in R^{+}$\$ \{1\}$ i $p,q\in Q^{+}$, onda iz $a^{p}=a^{q}$ sledi da je $p=q$, i obrnuto, iz $p=q$ sledi da je $a^{p}=a^{q}$.
Napomena 2. Ako je $a,b\in R^{+}$ i $p\in Q^{+}$, onda iz $a < b$ sledi da je $a^{p} < b^{p}$.

Za $a>0$ i ma koje $p\in Q$ sledi da je: $$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$$ U opštem slučaju za $a>0$ biće: $$a^{\frac{mp}{np}}=\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$$
Posmatrajmo sada funkciju $y = f(x) = x^{r}$, gde je $r = \frac{m}{n}, m \in Z, n \in N, (m, n) = 1.$

(1) Neka je $n$ paran broj. Oblast definisanosti funkcije $y = \sqrt[n]{x^{m}}$ je:
(a) $D = [0, \infty)$, ako je $m > 0$
(b) $D = (0, \infty)$, ako je $m < 0$
Funkcija nije ni parna ni neparna.

Grafici su skicirani na sledećoj slici za slučajeve , ,

(2) Neka je $n$ neparan broj. Funkcija $y = \sqrt[n]{x^{m}}$ je definisana za:
(a) $x \in R$, ako je $m > 0$
(b) $x \in R $\$ \{0\}$, ako je $m < 0$
Funkcija je parna ako je $m$ parno i neparna ako je $m$ neparno.

U zavisnosti od toga da li je $r > 1, 0 < r < 1 , r < 0$, kao i od toga da li je $m$ parno ili neparno, imamo šest raznih tipova grafika