Elementarne funkcije

Stepene funkcije

Pojam $n$-tog korena

Posmatrajmo jednačinu: $$x^{n}=a, n\in N, a\in R.$$ Ako je $n$ neparan prirodan broj, prava $y=a$ i grafik funkcije $y=x^{n}$ seku se samo u jednoj tački. Zato za neparno $n$ i bilo koje $a \in R$ jednačina $x^{n}=a$ ima jedinstveno rešenje. I to, za $a>0$ rešenje je pozitivan broj, za $a=0$ ono je jednako nuli i za $a<0$ rešenje jednačine je negativan broj.

Ako je $n$ paran prirodan broj, onda za $a>0$ jedanšina $x^{n}=a$ ima dva rešenja koja su suprotni brojevi, jer se prava $y=a$ i grafik funkcije $y=x^{n}$ seku u dve tačke simetrične u odnosu na $y$- osu. Za $a=0$ jednačina $y=x^{n}$ ima jedinstveno rešenje jednako nuli. Za $a<0$ jednačina $y=x^{n}$ nema realnih rešenja. Prava $y=a$ i grafik funkcije $y=x^{n}$ nemaju zajedničkih tačaka. Jednačina $y=x^{n} (a\in R^{+} \cup \{0\}, n\in N)$ ima u $R^{+} \cup \{0\}$ samo jedno rešenje.

Nenegativno rešenje (koren) jednačine $x^{n}=a, n\in N, a\in R^{+} \cup \{0\}$ naziva se $n$-ti koren iz $a$.

Kaže se da je $n$-ti koren iz nenegativnog broja $a$ takav nenegativan broj $x$ čiji je $n$-ti stepen jednak broju $a$. $$\forall a, x\in R^{+} \cup \{0\}, \forall n\in N: \sqrt[n]{a}=x\Longleftrightarrow x^{n}=a$$
Iz definicije sledi da je: $\sqrt[1]{a}=a, \sqrt[n]{0}=0, \sqrt[n]{1}=1$, jer je $a^{1}=a, 0^{n}=0, 1^{n}=1$. Posebno iz definicije sledi $\sqrt{a}=x\Longleftrightarrow a=x^{2} \wedge x\geq 0$.
Oznaka $\sqrt[n]{a}$ čita se "$n$-ti koren iz $a$ jedanko je $x$". Broj $n$ naziva se izložiocem korena, broj $a$ potkoreni izraz ili radikand, a broj $x$ se naziva koren. Nenegativan broj $x$ se često zove i aritmetički koren.

Osnovna svojstva $n$-tog korena:
1) ako je $a\geq 0$ i $b\geq 0$ onda je $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$
2) ako je $a\geq 0$ i $b>0$ onda je $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Takođe, $n$-ti koren ima analogna svojstva i za $n>2$.

Kada je $n$ paran broj, odnosno $n=2k, k\in N$, parni stepen svakog realnog broja je nenegativan broj, pa za $a\in R^{-}$, odnosno $a<0$ ne postoji $b\in R$, tako da je $b^{2k}=a$. Dakle, za $a<0$ izraz $\sqrt[2k]{a}$ nema smisla u skupu $R$.
Kada je $n$ neparan broj, odnosno $n=2k, k\in N$ i $a\in R^{-}$ postoji jedinstven realan broj $b$, tako da je: $$b^{2k+1}=a\Longleftrightarrow b=\sqrt[2k+1]{a}$$
Ako je $n$ neparan broj i $a<0$, tada je $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$.

Uopšte sledi da je: $$\sqrt{a^{2}}=|a|, a\in R, \sqrt{a^{2n}}=|a^{n}|, a\in R$$ Slično je: $\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|, a\in R, k\in N$.

Ako se pri računanju korenima dobije izraz u obliku razlomka, pri čemu imenilac tog razlomka sadrži korene, može se algebarskim transformacijama takav razlomak svesti na oblik u čijem imeniocu nema više korena. Ovo se čini da bi se izbeglo deljenje iracionalnim brojem. Postupak kojim se to ostvaruje naziva se racionalisanje imenioca razlomka. To ne znači da se u nekim slučajevima ne može racionalisati i brojilac razlomka.