Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:


Stepene funkcije

Stepen sa prirodnim izložiocem

Funkcija $f : R\rightarrow R$ definisana formulom $f(x)=x^{n}$, $n\in N$, naziva se stepena funkcija sa prirodnim izložiocem.
Funkcija $y=x$ je neprekidna, pa je onda i funkcija $y=x^{n}$ neprekidna kao prozivod neprekidnih funkcija.

Posmatrajmo najpre funkciju $f(x)=x^{2n+1}$, $f:R \rightarrow R$.
- Funkcija $f$ je definisana za sve realne vrednosti $x$, tj. njen domen je skup $R$
- Funkcija $f$ je neparna
- $f(x)>0$ za $x>0$ i $f(x)<0$ za $x<0$
- $f(x)=0$ ako i samo ako je $x=0$
- Funkcija $f$ je strogo rastuća na $R$
- Funkcija $f$ je bijekcija
Za svako $x_{1}, x_{2} \in R$ iz $f(x_{1})=f(x_{2})$ tj. $x_{1}^{2n+1}=x_{2}^{2n+1}$ sledi $x_{1}=x_{2}$, pa je $f$ injekcija. Za svako $y \in R$ postoji $x=\sqrt[2n+1]{y} \in R$ za koje je $f(x)=x^{2n+1}=y$
- Funkcija $$h : R \rightarrow R, h(y)=\sqrt[2n+1]{y}, y \in R$$ je inverzna funkciji $f$.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Posmatrajmo sada funkciju $f(x)=x^{2n}$, $f:R \rightarrow R^{+}$.
- Funkcija $f$ je definisana za sve realne vrednosti $x$
- Funkcija $f$ je parna
- $f(x) \geq 0$ za svako $x \in R$ i $f(x)=0$ ako i samo ako $x=0$
- Funkcija $f$ je rastuća na $(0, +\infty)$ i opadajuća na $(-\infty, 0)$.
- Funkcija $f$ nije ni $"1-1"$ ni $"NA"$:
Zaista, na primer, važi $f(-1)=f(1)$, što znači da nije $"1-1"$. S druge strane, za $y=-1 \in R$ ne postoji $x \in R$ takvo da je $x^{2n}=-1=y$, pa funkcija nije ni $"NA"$. Dakle, ova funkcija nije bijekcija, pa nema inverznu funkciju.

Posmatrajmo funkciju $$g : R_{0}^{+} \rightarrow R_{0}^{+}, g(x)=x^{2n}, x \in R_{0}^{+}.$$ Funkcija $g$ je bijekcija. Zaista, ona je $"1-1"$, jer iz $g(x_{1})=g(x_{2})$, tj. $x_{1}^{2n}=x_{2}^{2n}$ i $x_{1}, x_{2} \geq 0$ sledi $x_{1}=x_{2}$. Takođe ona je $"NA"$, jer za svaki nenegativan broj $y$ postoji jedinstven nenegativan broj $x$, takav da je $g(x)=x^{2n}=y$.

Funkcija $$h : R_{0}^{+} \rightarrow R_{0}^{+}, h(y)=\sqrt[2n]{y}, y \in R_{0}^{+}.$$ je inverzna funkcija funkcije $g$.
Analogno, inverzna funkcija bijekcije $$g_{1} : R_{0}^{-} \rightarrow R_{0}^{+}, g_{1}(x)=x^{2n}, x \in R_{0}^{-}.$$ je funkcija $$h_{1} : R_{0}^{+} \rightarrow R_{0}^{-}, h_{1}(x)=-\sqrt[2n]{y}, y \in R_{0}^{+}.$$ Na sledećoj slici prikazani su prvo grafici uzajamno inverznih funkcija $$y=x^{2}, x \geq 0, y=\sqrt{x}$$ (obe funkcije su monotono rastuće),
a zatim grafici uzajamno inverznih funkcija $$y=x^{2}, x \leq 0, y=-\sqrt{x}$$ (obe funkcije su monotono opadajuće).

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Upoređivanjem navedenih svojstava uočava se da se ona razlikuju samo u zavisnosti da li je $n\in N$ parno ili neparno. Objedinjavanjem tih svojstava utvrdiće se svojstva funkcije $y=x^n$ i osobine njenog grafika za ma koji prirodni broj $n$.

1. $x^{n}=0\Longleftrightarrow x=0$. Zato grafiku funkcije $y=x^{n}$ pripada koordinatni početak; odnosno broj $0$ je nula funkcije
2. a) Ako je $x\neq 0$ i $n$ neparan broj, onda $x^{n}$ za pozitivno $x$ ima pozitivne vrednosti, a za negativno $x$ ima negativne vrednosti. Zato grafik funkcije $y=x^n$ za neparno $n$ pripada prvom i trećem kvadrantu
b) Ako je $x\neq 0$ i $n$ paran broj, onda je $x^n>0$. Zato grafik funkcije $y=x^{n}$ za parno $n$ pripada prvom i drugom kvadrantu
3. a) Ako je $n$ neparan broj ($n=2k-1, k\in N$), suprotnim vrednostima nezavisno promenljive $x=-a$ i $x=a$ odgovaraju suprotne vrednosti funkcije $-a^{2k-1}$ i $a^{2k-1}$. Prema tome, grafik funkcije $y=x^n$ za neparno $n$ ima centar simetrije, i to koordinatni početak
b) ako je $n$ paran broj ($n=2k, k\in N$), suprotnim vrednostima nezavisno promenljive $x=-a$ i $x=a$ odgovaraju jednake vrednosti funkcije $(-a^{2k})=a^{2k}$ i $(a^{2k})=a^{2k}$. Prema tome, grafik finkcije $y=x^n$ za parno $n$ ima osu simetrije, i to $y$-osu
4. a) Za neparno $n$ funkcija $y=x^{n}$ je rastuća
b) Za parno $n$ funkcija $y=x^{n}$ opada na skupu negativnih brojeva $R^{-}$ i raste na skupu pozitivnih brojeva $R^{+}$
5. a) Skup vrednosti funkcije $y=x^{n}$ za neparno $n$ jeste skup realnih brojeva
b) Skup vrednosti funkcije $y=x^{n}$ za parno $n$ jeste skup nenegativnih realnih brojeva