Osobine vektorskog proizvoda

  Za svaka tri vektora $\vec{a}$, $\vec{b}$ i $\vec{c}$ važe sledeće realcije:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} ) \times (\vec{b} = b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k})= $
$= a_x b_y (\vec{i} \times \vec{j}) + a_x b_z (\vec{i} \times \vec{k}) + a_y b_ x(\vec{j} \times \vec{i}) + $ $ a_y b_ z(\vec{j} \times \vec{k}) + a_z b_ x(\vec{k} \times \vec{i}) + a_z b_y (\vec{k} \times \vec{j})= $
$ = a_x b_y \vec{k} + a_x b_z (- \vec{j} ) + a_y b_ x(-\vec{k} ) + a_y b_ z \vec{i} + a_z b_ x \vec{j} + a_z b_y ( -\vec{i})= $
$ =(a_y b_ z - a_z b_y) \vec{i} - (a_x b_z - a_z b_ x) \vec{j} + (a_x b_y - a_y b_ z) \vec{k}.$

   Na osnovu toga se vektorski proizvod može izraziti pomoću determinante na sledeći način:

$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \\ \end{vmatrix} \vec{k} . = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{vmatrix} $

Dokaz. Za date vektore $ \vec{a}= (a_x , a_y , a_z ), \vec{b} = ( b_x , b_y , b_z ), \vec{c} = ( c_x , c_y , c_z ) $ dokazaćemo sledeće relacije:

• $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{a=c}$;
  $ \vec{a} \times ( \vec{b} + \vec{c}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} + c_x & b_{y} + c_y & b_{z}+ c_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{vmatrix}= $
  $ = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $
  
  
• $ (m \vec{a}) \times \vec{b} = m(\vec{a} \times \vec{b})$
  $ (m \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ma_{x} & ma_{y} & ma_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{vmatrix}= m\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{vmatrix} $
  
  
• $ \vec{a} \times (m\vec{0} )= 0$
  $ \vec{a} \times (m\vec{0} )= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ ma_{x} & ma_{y} & ma_{z} \\ \end{vmatrix} =0$