Mešoviti proizvod

    Ako su data tri vektora $\vec{a}, \vec{b}$ i $\vec{c}$. Mešoviti proizvod $ \vec{a} \cdot( \vec{b} \times \vec{c}) )$ ili $ (\vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c}$ je skalar. Pokazaćemo da je $( \vec{a}×\vec{b})\cdot \vec{c}=V_{paralelopipeda}$.

    Neka je: $\vec{a}×\vec{b}=\vec{d}, \vec{d} ⊥\vec{a}$  i  $\vec{d} ⊥\vec{b} $; Tada je
$( \vec{a}×\vec{b})\cdot \vec{c}= | \vec{a}×\vec{b}|\cdot \vec{c} \cdot cosφ$;     $|\vec{c}| \cdot cosφ=H$; $( \vec{a}×\vec{b})\cdot \vec{c}=B$;
$ φ< \frac{\pi}{2} {5}⇒ H =|\vec{c}| cosφ$ ;     $ \frac{π}{2}<φ< \pi⇒ H =-|\vec{c}| cosφ$ ;
$ ⇒ V=|(\vec{a}×\vec{b})\cdot\vec{c}| =|\vec{a} \cdot (\vec{c}×\vec{d}) | $;

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

  Ako su dati vektori u trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu : $ \vec{a} (a_x , a_y , a_z ), $ $ \vec{b} = ( b_x , b_y , b_z ), \vec{c} = ( c_x , c_y , c_z ) $, tada je:

$ \vec{a} \cdot( \vec{b} \times \vec{c}) =( a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}) \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{vmatrix}=$

$ ( a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}) \Bigg ( \begin{vmatrix} b_{y} & b_{z} \\ c_{y} & c_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} b_{x} & b_{z} \\ c_{x} & c_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} b_{x} & b_{y} \\ c_{x} & c_{y} \\ \end{vmatrix} \vec{k} \Bigg )= $

$ a_x \begin{vmatrix} b_{y} & b_{z} \\ c_{y} & c_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{i} - a_y \begin{vmatrix} b_{x} & b_{z} \\ c_{x} & c_{z} \\ \end{vmatrix} \vec{j} + a_z \begin{vmatrix} b_{x} & b_{y} \\ c_{x} & c_{y} \\ \end{vmatrix} \vec{k} = \begin{vmatrix} a_{x} & a_{j} & a_{k} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{vmatrix}=D $