Matrice
Elementarne transformacije matrice
Definicija. Elementarne transformacije matrice $A$ su sledeće:
- Zamena dve vrsta ( ili kolone) matrice $A$.
- Množenje svih elemenata jedne vrste (ili kolone) matrice $A$ istim brojem koji je različit od 0.
- Dodavanjem elementa jedne vrste (ili kolone) matrice $A$ prethodno prethodno pomnoženih istim brojem, odgovarajućim elementom druge vrste (ili kolone) matrice $A$.
TEOREMA. Rang matrice se ne menja vrćenjem elementarnih transformacija.
TEOREMA. Svaka matrica tipa $ m \times n$ koja je različita od nula matrice, moče se elementarnim transformacijama transformisati u matricu $B$ tipa $ n \times m$ .
$ B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & ... & b_{1r} & ... & b_{1n}\\ 0 & b_{22} & b_{23} & ...& b_{2r} &... & b_{2n}\\ . & . & . & ... & . & ... & . \\ . & . & . & ... & . & ... & . \\ . & . & . & ... & . & ... & . \\ 0 & 0 & 0 & ... & b_{rr} & ... & b_{2n}\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & ...& 0\\ \end{bmatrix} $, gde je $B_{ii} \ne 0, \forall i =1,2,..., r $.
$ \Rightarrow rang B = r \Rightarrow rang A=r, A \sim B .$
Primer. Odrediti rang matrice $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 8 & 8 & 9 & 9 & 1 \\ \end{bmatrix} $ primenom elementarnih transformacija na vrstama.
Rešenje:
$ A \sim B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & -11 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 14 & -13 & 11 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow r(A)= r(B)= 4. $