Rang matrica

   Neke je $A= \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ , matrica tipa $ m \times n$. Kvadratna podmatrica matrice $A$ je matrica do koje se dolazi precrtavanjem određenih vrsta i kolona matrice $A$.

   Definicija. Rang matrice $A$ je red njene regularne kvadratne podmatrice, takve da su sve kvadratne podmatrice većeg reda, ako postoje singularne.

   Primer    1. matrica $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 &    1 & 3 \\ 2 & 5 &     1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} $ ima četiri podmatrice reda tri :

$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &    1 \\ 2 & 5 &     1 \\ 3 & 2 & -1 \\ \end{bmatrix} $, $ \begin{bmatrix} 1 &    1 & 3 \\ 2 &     1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} $ i $ \begin{bmatrix} 2 &    1 & 3 \\ 5 &     1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} $

Matrica $A$ imamo 18 podmatrica reda 2. $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} $, $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{vmatrix} $, $ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} $, .... i 12 podmatrica reda 1.

   Primer    3. Odrediti rang matrice $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} $.

   Rešenje: Na primer, ako u matrici $A$ izostavimo drugu kolonu, tada dobijena kvadratna podmatrica ima determinantu $ det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 0. $

   Analogno se pokazuje da su i sve druge podmatrice trećeg reda matrice $A$ singularne. Postoji, međutim, reglarna kvadratna podmatrica drugog reda čija je determinanta različita od nule. Naime, $ det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{vmatrix} = 3 \ne 0. $ Prema tome je $rang A =2$