Inverzna matrica

   Definicija. Kvadratna matrica $A$ je regularna ako postoji kvadratna matrica $B$ takva da je

$A \cdot B = B \cdot A = E $

   Definicija. Kvadratna matrica $B$ koja zadovoljava uslove $A \cdot B = E$ zove se inverzna matrica za $A$ i obeležava se sa $A^ {-1}$.

   Definicija. Kvadratna matrica za koju ne postoji inverzna zove se singularna matrica .

   TEOREMA: Ako je $A$ kvadratna matrica tada je :
$A \cdot adj A = adj A \cdot A= detA \cdot E$.

Dokaz:
$A \cdot adj A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ...& a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & ...& A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ...& A_{n2}\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ A_{1n} & A_{2n} & ...& A_{nn}\\ \end{bmatrix} = $

$= \begin{bmatrix} a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12}+... + a_{1n}A_{1n} & ...& a_{11}A_{n1} +... + a_{1n}A_{nn} \\ a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12}+... + a_{2n}A_{1n} & ...& a_{21}A_{n1} +... + a_{2n}A_{nn} \\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ a_{n1}A_{11} + a_{n2}A_{n2}+... + a_{nn}A_{1n} & ...& a_{n1}A_{n1} + ... + a_{nn}A_{nn} \\ \end{bmatrix} = $

$ = \begin{bmatrix} det A & 0 & ...& 0 \\ 0 & det A & ...& 0\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ 0 & ...& 0 & det A\\ \end{bmatrix} = det A \begin{bmatrix} 1 & 0 & ...& 0 \\ 0 & 1 & ...& 0\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ . & . & ...& .\\ 0 & ...& 0 & 1\\ \end{bmatrix} = det A \cdot E. $

$ A \cdot adj A = |A| \cdot E \Rightarrow \frac {1}{|A|} A \cdot adj A = E \Rightarrow A^{-1} = \frac {1}{|A|} \cdot adj A $

   Matrica je regularna ako je $ |A| \ne 0$, a sigularna je ako je $|A| = 0$