Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

   Postavlja se pitanje zašto se uopšte uvodi trigonometrijski oblik kompleksnog broja !? Podsetimo se da smo u svakom novom skupu brojeva mogli uvesti neku novu operaciju. Tako smo u skupu $Z$ mogli oduzimati (tj. dobili smo inverzne elemente u odnosu na sabiranje), u skupu $Q$ smo mogli deliti (tj. dobili smo inverzne elemente u odnosu na mnošenje), a u skupu $R$ smo mogli računati potencije pozitivnih brojeva i kada je eksponent racionalan broj. U skupu $C$ je pak moguće naći koren iz svakog komplesnog broja. Takođe, u skupu je za $ n \in N $ $a\in R$ jednačina a $x^n = a$ imala najviše dva rešenja ( u zavisnosti od predznaka broja, a i parnosti broja $n$ ),no u skupu $C$ ona će uvek imati tačno $n$ rešenja. Da bismo na jednostavan način odredli korene kompleksnih brojeva uvodi se novi način zapisivanja kompleksnih brojeva tj. trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Potenciranje kompleksnog broja Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

   Kompleksni broj možemo prikazati i u obliku vektora kome je početak u koordinatom početku, a kraj u tački $Z(a, b)$ tj. $z$ je vektor $O \vec z $ kome su projekcije na koordinatne ose $a$ i $b$. Dužina vektora se određuje na sledeći način: $ | z |= \rho = \sqrt{ a^2+ b^2} $ (modul), a smer vektora $ \vec z $ se određuje iz formule $ tg \varphi = \frac{b}{a}$ (argument) $\Rightarrow a= \rho cos\varphi $, $ b= \rho sin\varphi \Rightarrow z= \rho (cos\varphi + i sin\varphi) $ Modul je jednoznačno određen, a $ \varphi = arg z= arctg { \frac{a}{b}} + 2k \pi $.

   Trigonometrijskim oblik kompleksnog broja je: $z= \rho (cos (\varphi +2k\pi) +i sin(\varphi +2k\pi))$