Operacije u skupu kompleksnih brojeva

   Jednačina $x^2 +1=0 $ nema rešenja u skupu realnih brojeva. Naime, kvadrat bilo kog realnog broja je nenegativan broj, pa je i $x^2 +1> 0$, za svako $x ∈ R$. Rešenje jednačine $x^2 +1=0 $ su kompleksni brojevi $x_1= (0,1)= i$ i $x_2=(0,-1)=-i$. Kompleksan broj $(a,b)$ možemo zapisati i kao $a+ib$. Tada broj $a$ nazivamo realni deo, a broj $b$ imaginarni deo kompleksnog broja $a+ib$.

   Ako su $z_1= (a_1,b_1)= a_1+ib_1$ i $z_2= (a_2, b_2) = a_2 + b_2 $ dva kompleksna broja, tada važi:

Jednakost kompleksnih brojeva
Dva kopmleksna broja $z_1$ i $z_2$ tj. $z_1 =z_2$ su jednaka ako su im jednaki realni i imaginirani delovi, odnosno ako je $a_1 = a_2$ i $b_1 =b_2$. Neki kompleksan broja $z= a + bi $ je jednak nuli ako je a=0 i b = 0.

Sabiranje
Zbir dva kompleksan broja $z_1 +z_2$ jednak je: $(a_1 + ib_1) + (a_2 + ib_2)= (a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)$. Za zbir dva kompleksna broja važi

• zakon komutativnosti: $z_1 +z_2 = z_2 +z_1 $
• zakon asocijativnosti: $z_1 + ( z_2+ z_3) = (z_1 + z_2) + z_3 $.

Oduzimanje
Razlika $z_1 - z_2$ jednaka je $(a_1 + ib_1) - (a_2 + ib_2)= a_1 - a_2 + i (b_1 - b_2)$. Takođe važi: $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) $.

Množenje
Proizvod $ z_1 \cdot z_2= $ jednak je: $ (a_1 + i b_1) \cdot (a_2 + ib_2) = (a_1a_2 - b_1b_2)+ i (a_1b_2 + a_2b_1) $ Važi:

• komutativnost $z_1 \cdot z_2= z_2 \cdot z_1$
• asocijativnost $(z_1 \cdot z_2 )\cdot z_3 = z_1 \cdot( z_2 \cdot z_3) $
• distributivnost: $ z_1 \cdot( z_2 \cdot z_3) = z_1z_2 + z_1 z_3 $

Proizvod kompleksnog i konjugovano kompleksnog broja jednak je: $ z \cdot { \bar z} = a^2-b^2$

Deljenje
Količnik dva kompleksna broja je: $ \frac {z_1} {z_2} = \frac {a_1 + i b_1} {a_2 + i b_2} = \frac {a_1 + i b_1} {a_2 + i b_2} \cdot \frac {a_2 - i b_2} {a_2 - i b_2} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2 + i(a_2b_1 - a_1 b_2)} { {a_2}^2 + {b_2}^2 } $ $(z_2 ≠ 0) $