Kompleksni brojevi
Algebarski oblik kompleksnog broja
Do sada smo se upoznali sa sledećim skupovima brojeva: $N, Z, Q, I$ i $R$. Nemogućnost rešavanja nekih jednačina na nekom skupu brojeva ukazala je potrebu za njegovim proširenjem. Slično tome, neke se čak i jednostavne jednačine ne mogu rešiti u polju realnih brojeva.
Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sledeća jednačina: $x^2 - 1=0$, koja ima dva rešenja u skupu $R$,$x=1$ i $x=-1$ dok slična jednačina $x^2 + 1 = 0$ nema nijedno rešenje u skupu $R$. Samim tim uvodi se novi pojam koji se naziva imaginarna jedinica, označava se slovom $i$. Imaginarna jedinica $i$ se definiše tako što su $x=i$ i $x=-i$ rešenja jednaćine $x^2 + 1 = 0$. Iz ove definicije sledi:
$ i^0= 1$, $ i^1= i$, $ i^2=-1$, $ i^3 = -i$, $ i^4=-i \cdot i=-(-1)=1$, $ i^5=(i^2)^2\cdot i= -i$,..., $ i^{17} =i^{16}c\cdot i=(i^2)^4c\cdot i= i$,..., $i^{4k} =1$, $i^{4k+1} =i$ ,$i^{4k+2} =-1$, $i^{4k+3} = -i$ , ...
Definicija. Skup kompleksnih brojeva $C$ je skup svih brojeva oblika $z= a+bi$, gde su $a,b \in R $. Posebno je $0= 0 + i0$. Realni broj $a=Re(z)$ je realni deo kompleksnog broja $z$, a realni broj $b=Im(z)$ je imaginarni deo kompleksnog broja $z$.
Konjugovano kompleksni broj broja $z= a+bi$ je broj $\bar z = a-bi$. Modul ili apsolutna vrednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r = \left | z \right \vert = \sqrt{ a^2+ b^2} $.
Primer 1. U sledećem apletu možeti videti grafički prikaz kompleksnog broja $z$ i konjugovano kompleksnog broja $ \bar{z}$.
U zavisnosti od realnog i imaginarnog dela kompleksnog broja razlikujemo sledeće:
- $b= 0$, tada je $z=a$ realan broj. U ovom slučaju podskup skupa kompleksnih brojeva $C$
identifikujemo sa skupom realnih brojeva. - $a=0$, broj $z= bi$ je čisto imaginaran broj.
Realan deo i imaginarni deo komleksnog broja $z$ možemo odrediti na sledeći način: $a = \frac {z+ \bar z} {2} $ i $b = \frac{z- \bar z}{2i} $.
U skupu $C$ nemaju smisla nejednakosti $z_1 > z_2$ i $z_1 < z_2$, kao ni $z > 0$ i $z < 0$. Brojevi $i$ i 0 nisu uporedivi, jer kada bi bilo $i \ge 0 \Rightarrow i \cdot i \ge 0 \Rightarrow i^2 \ge 0 $ međutim ovde dolazimo do kontradikcije jer -1 nije manje od 0.
Kada bi $ i\le 0 \Rightarrow i \cdot i^3 \le 0 \cdot i^3 \Rightarrow i^4 \le 0 \Rightarrow 1 \le 0 $ što predstavlja kontradikciju jer je $ i^3 = -i \ge 0 $ dalje zaključujemo $ i \le 0 \Rightarrow i\cdot i \ge 0 $ i ovom slučaju dolazimo do kontradikcije.