Kompleksni brojevi
Algebarski oblik kompleksnog broja
Do sada smo se upoznali sa sledećim skupovima brojeva: i R. Nemogućnost rešavanja nekih jednačina na nekom skupu brojeva ukazala je potrebu za njegovim proširenjem. Slično tome, neke se čak i jednostavne jednačine ne mogu rešiti u polju realnih brojeva.
Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sledeća jednačina: x^2 - 1=0, koja ima dva rešenja u skupu R,x=1 i x=-1 dok slična jednačina x^2 + 1 = 0 nema nijedno rešenje u skupu R. Samim tim uvodi se novi pojam koji se naziva imaginarna jedinica, označava se slovom i. Imaginarna jedinica i se definiše tako što su x=i i x=-i rešenja jednaćine x^2 + 1 = 0. Iz ove definicije sledi:
i^0= 1, i^1= i, i^2=-1, i^3 = -i, i^4=-i \cdot i=-(-1)=1, i^5=(i^2)^2\cdot i= -i,..., i^{17} =i^{16}c\cdot i=(i^2)^4c\cdot i= i,..., i^{4k} =1, i^{4k+1} =i ,i^{4k+2} =-1, i^{4k+3} = -i , ...
Definicija. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih brojeva oblika z= a+bi, gde su a,b \in R . Posebno je 0= 0 + i0. Realni broj a=Re(z) je realni deo kompleksnog broja z, a realni broj b=Im(z) je imaginarni deo kompleksnog broja z.
Konjugovano kompleksni broj broja z= a+bi je broj \bar z = a-bi. Modul ili apsolutna vrednost kompleksnog broja z je nenegativni realni broj r = \left | z \right \vert = \sqrt{ a^2+ b^2} .
Primer 1. U sledećem apletu možeti videti grafički prikaz kompleksnog broja z i konjugovano kompleksnog broja \bar{z}.
U zavisnosti od realnog i imaginarnog dela kompleksnog broja razlikujemo sledeće:
- b= 0, tada je z=a realan broj. U ovom slučaju podskup skupa kompleksnih brojeva C
identifikujemo sa skupom realnih brojeva. - a=0, broj z= bi je čisto imaginaran broj.
Realan deo i imaginarni deo komleksnog broja z možemo odrediti na sledeći način: a = \frac {z+ \bar z} {2} i b = \frac{z- \bar z}{2i} .
U skupu C nemaju smisla nejednakosti z_1 > z_2 i z_1 < z_2, kao ni z > 0 i z < 0. Brojevi i i 0 nisu uporedivi, jer kada bi bilo i \ge 0 \Rightarrow i \cdot i \ge 0 \Rightarrow i^2 \ge 0 međutim ovde dolazimo do kontradikcije jer -1 nije manje od 0.
Kada bi i\le 0 \Rightarrow i \cdot i^3 \le 0 \cdot i^3 \Rightarrow i^4 \le 0 \Rightarrow 1 \le 0 što predstavlja kontradikciju jer je i^3 = -i \ge 0 dalje zaključujemo i \le 0 \Rightarrow i\cdot i \ge 0 i ovom slučaju dolazimo do kontradikcije.