Korenovanje kompleksnog broja

  Tražimo $\sqrt[n]{z}$ gde je $ z= \rho (cos (\varphi +2k\pi) +i sin(\varphi +2k\pi)) , n \in N $ . Predpostavimo da je $\sqrt[n]{z}$ neki kompleksni broj $ r (cos \psi + i sin \psi ) $ tj.

$ \sqrt[n]{z}= r (cos \psi + i sin \psi )
\Rightarrow z= r^n (cos {n\psi} + i sin{n\psi})= \rho (cos\varphi + i sin \varphi ) $
$ \Rightarrow r^n = \rho \Rightarrow r= \sqrt[n]{\rho} $ i $n\psi = \varphi+ 2k\pi \Rightarrow \psi = \frac{\varphi+ 2k\pi}{n} \Rightarrow $
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \bigg( cos{\frac{\varphi+ 2k\pi}{n}} + i sin{\frac{\varphi+ 2k\pi}{n}} \bigg) $ , $k= 0,1,2,3,..$ (A) eksponencijalni oblik

$ \Rightarrow \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} e^{\frac{\varphi+ 2k\pi}{n} } $ (B) Moavrova formula

   Formula (B) kaže da svaka od $n$ vrednosti $ \sqrt[n]{z}$ ima isti modul $\sqrt [n]{\rho} $, dok je argument prvog rešenja $\frac{\varphi}{n} $, a poćava se svaki put za $\frac{2\pi}{n}$ pri povećavanju $k$ za jedinicu. Odatle sledi da $ \sqrt[n]{z}$. $z \ne 0$ ima i različite vrednosti koje predstavljaju temena pravouglog $n-$ tougla upisanog u kružnicu poluprečnika $\sqrt [n]{\rho} $ sa centrom u (0,0).

$k=0$, $ z_1= \sqrt [n]{\rho} \cdot e^{\frac{ i \varphi}{n}}$

$k=1$, $ z_2= \sqrt [n]{\rho} \cdot e^{ {\frac{\varphi+ 2\pi}{n}} \cdot i} = \sqrt [n]{\rho} \cdot e^ {i \frac{\varphi}{n}} \cdot e^{{\frac{2\pi i}{n}} \cdot i} = z_1 \cdot e^{

{\frac{2\pi i}{n}} \cdot i}$

$k=2$, $ z_3= \sqrt [n]{\rho} \cdot e^{ {\frac{\varphi+ 2\pi + 2\pi}{n} } \cdot i } = \sqrt [n]{\rho} \cdot e^{ {\frac{\varphi+ 2\pi}{n}} \cdot i} \cdot e^{{\frac{2\pi i}{n}} \cdot i}$ tj. ovo predstavlja rotaciju.

   Primer 1) Naći $\sqrt[4]{z}$, gde je $z=4$.

Rešenje: $z= 4(cos{\pi} +i sin{\pi} ) = 4 \cdot e^{\pi i} \cdot e^{2k\pi i } \ \Rightarrow $
$\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{4} \cdot e^ { \frac{\pi + 2k\pi i}{ \sqrt{2}}}, k=0,1,2,... \Rightarrow $
$ z_0 = \sqrt[4]{4} \cdot e^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt[4]{4} \bigg( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \bigg)$
$ z_1 = \sqrt[4]{4} \cdot e^{ {\frac{3\pi}{4}} \cdot i } = \sqrt[4]{4} \bigg( - {\frac{1+i}{ \sqrt{2} } } \bigg)$
$ z_2 = \sqrt[4]{4} \cdot e^{ {\frac{5\pi}{4}} \cdot i } = - \sqrt[4]{4} \bigg( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \bigg)$
$ z_3 = \sqrt[4]{4} \cdot e^{ {\frac{ 7\pi}{4}} \cdot i} = \sqrt[4]{4} \cdot e^{2\pi i } \cdot e^{ -{\frac{\pi}{4}} \cdot i} = \sqrt[4]{4} \bigg( \frac{1-i}{ \sqrt{2} } \bigg)$