Дужина лука криве дате у поларним координатама

Нека је крива дата поларном једначином $r=r(\varphi), \alpha\leq\varphi\leq\beta$, где је функција $r(\varphi)$ непрекидно диференцијабилна. Крива ће бити представљена у параметарском облику $$x=r(\varphi)\cos{\varphi}, y=r(\varphi)\sin{\varphi}, \alpha\leq\varphi\leq\beta.$$ У том случају израз за дужину постаје $$l=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(r'(\varphi)\cos{\varphi}-r(\varphi)\sin{\varphi})^2+(r'(\varphi)\sin{\varphi}+r(\varphi)\cos{\varphi})^2}d\varphi},$$ односно, $$l=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(r'(\varphi))^2+r^2(\varphi)}d\varphi}.$$

Пример 1. Наћи дужину лука који гради Архимедова спирала $\rho=a\varphi$ за $0 \leq \varphi \leq 2\pi$.

Приказ Архимедове спирале на интервалу $[0, 2\pi]$ у зависности од промене параметра $a$.

Решење:

$$l=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{a^2\varphi^2+a^2}d\varphi}=a\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\varphi^2+1}d\varphi}.$$ Интеграл $\int{\sqrt{\varphi^2+1}d\varphi}$ је раније решен и једнак је $$\int{\sqrt{1+\varphi^2}d\varphi}=\frac{1}{2}\left(\varphi\sqrt{\varphi^2+1}+\ln{(\varphi+\sqrt{\varphi^2+1})}\right).$$ Дужина тражене криве је онда $$l=\frac{a}{2}\left(\varphi\sqrt{\varphi^2+1}+\ln{(\varphi+\sqrt{\varphi^2+1})}\right)|_{0}^{2\pi}=\frac{a}{2}(2\pi\sqrt{4\pi^2+1}+\ln{(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1})}).$$