Дужина лука криве дате у параметарском облику

Нека је крива дата једначинама $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t \in [\alpha, \beta]$, где су $x$ и $y$ непрекидно диференцијабилне на сегменту $[\alpha, \beta]$. Нека се елиминацијом параметра $t$ из датих једнакости добија једначина криве у облику $y=f(x), x \in [a, b]$. Тада се дужина $l$ криве линије $L$ од тачке $(a, f(a))$ до тачке $(b, f(b))$ израчунава по формули $$l=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt},$$ односно, $$l=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt}.$$

Пример 1. Наћи дужину лука астероиде дате једначином $\displaystyle{x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}}$.

Креирање астероиде

Решење:

Преласком на параметарски облик једначине астероиде добија се да је $x=a\cos^3{t}, y=a\sin^3{t}, 0\leq t\leq 2\pi$. Како је астероида симетрична у односу на координатне осе, добија се $$l=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt}=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{9a^2\cos^4{t}\sin^2{t}+9a^2\sin^4{t}\cos^2{t}}dt}=$$ $$=12a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{t}\cos{t}dt}=\left.6a\sin^2{t}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=6a.$$

Пример 2. Наћи дужину лука првог свода циклоиде $x=a(t-\sin{t})$, $y=a(1-\cos{t})$.

Решење:

Биће примењена формула за рачунање дужине лука криве у параметарском облику $$l=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt}.$$ Важи да је $x'(t)=a(1-\cos{t})$ и $y'(t)=a\sin{t}$. Како је $\displaystyle{x'^2(t)+y'^2(t)=2a^2(1-\cos{t})=4a^2\sin^2{\frac{t}{2}}}$, одавде је $$l=2a\int_{0}^{2\pi}{\sin{\frac{t}{2}}dt}= \left[ \begin{array}{c} \frac{t}{2}=z \\ dt=2dz\\ t_1=0\longrightarrow z_1=0\\ t_2=2\pi\longrightarrow z_2=\pi \end{array} \right]=$$ $$=4a\int_{0}^{\pi}{\sin{z}dz} =-4a\cos{z}|_{0}^{\pi}= -4a\cdot(-1)+4a=8a.$$