Запремина обртног тела

Нека је функција $f(x)$ непрекидна и позитивна функција дефинисана на сегменту $[a, b]$. Ако се криволинијски трапез чије су странице $[a, b]$, делови правих , и $y=f(x), a \leq x \leq b$ око осе $Ox$ добија се . Површ која ограничава ово тело састоји се од две базе које чине кругови полупречника и и омотача. Нека је $P=\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ подела сегмента $[a, b]$ и $\displaystyle{m_i=\inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]}{f(x)}}$, $\displaystyle{M_i=\sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]}{f(x)}}$. У равни $xOy$ могу се уочити правоугаоници $[x_{i-1}, x_i]$ и висином $m_i$ - добија се , односно висином $M_i$ - добија се , $i=1, 2, \ldots, n$. тих правоугаоника око $Ox$ осе добијају се ваљци.

Унија ваљака чији су полупречници основа $m_i$ има запремину $\displaystyle{v(P)=\sum_{i=1}^{n}{m^2_i\pi\Delta x_i}}$, $\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}$, а унија ваљака са полупречницима основа $M_i$ имају запремину $\displaystyle{V(P)=\sum_{i=1}^{n}{M^2_i\pi\Delta x_i}}$. Запремине $v(P)$, односно $V(P)$, представљају доњу, односно горњу, Дарбуову суму функције $\pi f^2(x), a\leq x\leq b$. Запремина обртног тела ће бити дефинисана као лимес ових Дарбуових сума када параметар поделе тежи нули: $$V=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{v(P)}=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{V(P)}.$$ Дакле, запремина обртног тела износи $$V=\pi\int_{a}^{b}{f^2(x)dx}.$$

Пример 1. Израчунати запремину сфероида који је настао ротацијом елипсе са полуосама $a$ и $b$ око $Ox$ осе.

Решење:

Потребно је изразити $y$ из формуле за елипсу $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Нека горња полуоса елипсе око осе $Ox$, тада се добија елипсоид чију запремину треба да израчунати.

Биће примењена формула за рачунање запремине фигуре у простору. $$V = \pi\int_{-a}^a{\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)dx}.$$ Како је функција $y$ парна, добија се следећа једнакост: $$V=2\pi\int_0^a{\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)dx}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(\left.a^2x\right|_0^a-\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^a\right)=\frac{2\pi b^2}{a^2}\frac{2a^3}{3}=\frac{4}{3}ab^2\pi.$$ Специјално, за $a=b=r$ добија се једначина круга $x^2+y^2=r^2$. Запремина која се у том случају добија ротацијом круга око $Ox$ осе је $$V=\frac{4}{3}rr^2\pi=\frac{4}{3}r^3\pi.$$ Добијена формула заиста јесте запремина сфере.

Пример 2. Одредити запремину торуса који се добија ротацијом круга $x^2+{(y-a)}^2=r^2$, при чему је $a > r$ око $Ox$ осе.

Решење:

Запремина торуса добија се одузимањем запремина тела добијених обртањем одговарајућих лукова круга око $Ox$ осе.

$${(y-a)}^2=r^2-x^2,$$ $$y-a=\pm\sqrt{r^2-x^2}.$$ Одавде следи $$y^2={(a\pm\sqrt{r^2-x^2})}^2,$$ $$V=2\pi\int_0^r{{(a+\sqrt{r^2-x^2})}^2dx}-2\pi\int_0^r{{(a-\sqrt{r^2-x^2})}^2dx}=2\pi\int_0^r{4a\cdot\sqrt{r^2-x^2}dx},$$ $$V=8\pi a\int_0^r{\sqrt{r^2-x^2}dx}=8\pi a\int_0^r{\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}}.$$ Овај интеграл ће бити записан као разлика два интеграла $$V=8\pi a\left(\int_0^r{\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}}dx-\int_0^r{\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}}dx\right).$$ Први интеграл биће сведен на таблични, а други ће бити решен парцијалном интеграцијом. Тада се добија следећа једнакост: $$V=8\pi a\left.\left[\frac{1}{2}\left(x\sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin{\frac{x}{r}}\right)\right]\right|_0^r,$$ $$V=8\pi a\cdot \frac{r^2}{2}\left(\arcsin1-\arcsin0\right),$$ $$V=4\pi r^2a\cdot \frac{\pi}{2}.$$ Добија се да је запремина торуса $$V=2\pi^2r^2a.$$

Пример 3. У тачки $P(3, 2)$ параболе $y^2=2(x-1)$ конструисана је тангента на ту параболу. Израчунати запремину тела које настаје ротацијом фигуре ограничене тангентом, параболом и осом $Ox$.

Решење:

Прво је потребно наћи једначину тангенте. Она се добија из формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$. Како је $y=f(x)=\sqrt{2(x-1)}$, одатле важи да је $\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}}$ и $\displaystyle{f'(3)=\frac{1}{2}}$. Добија се да је једначина тангенте $\displaystyle{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}$. Дакле, $y^2=2(x-1)$ има $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ у тачки $(3, 2)$, а теме параболе се налази у тачки (1, 0). Пресек тангенте и осе $Ox$ је тачка $(-1, 0)$. Запремина обртног тела које настаје дате фигуре се рачуна тако што се од запремине тела које настаје ротацијом тангенте одузме запремина тела које настаје ротацијом параболе. Ротацијом тангенте настаје купа, $r=2$ и висине $H=4$.

Применом формуле добија се да је запремина купе $\displaystyle{V_2=\frac{1}{3}r^2\pi H=\frac{16\pi}{3}}$. се добија ако се од одузме насталог ротацијом параболе. Дакле, $$V= V_2-V_1=\frac{16\pi}{3}-\pi\int_{1}^{3}{2(x-1)dx}=\left.\frac{16\pi}{3}-2\pi\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_{1}^{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Пример 4. Наћи запремину тела које настаје ротацијом лика ограниченог кривом $y=tgx$ и правом $y=0$ око осе $Ox$ у интервалу $[0, \frac{\pi}{4}]$.

Решење:

Запремина се рачуна по наведеној формули. $$V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{tg^2{x}dx}=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx}=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1-\cos^2{x}}{\cos^2{x}}dx}=$$ $$=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{dx}{\cos^2{x}}}-\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{dx}=tg{x}-x|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=1-\frac{\pi}{4}.$$