Површина у поларним координатама

Нека је дата крива $r=r(\varphi)$, $\varphi \in [\alpha, \beta]$ у поларном координатном систему, где је $r(\varphi)$ непрекидна функција. Геометријска фигура $OAB$ ограничена деловима полуправих $\varphi=\alpha$ и $\varphi=\beta$ и кривом $r=r(\varphi)$ назива се криволинијским троуглом. Потребно је наћи површину тог троугла. Нека је $P$ подела сегмента $[\alpha, \beta]$, $P=\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots,\varphi_n\}$. Нека је $\displaystyle{m_i=\inf_{\varphi\in[\varphi_{i-1}, \varphi_i]}{r(\varphi)}}$, $\displaystyle{M_i=\sup_{\varphi\in[\varphi_{i-1}, \varphi_i]}{r(\varphi)}}$. Кружни исечци полупречника $m_i$, односно $M_i$, ограничени полуправим $\varphi=\varphi_{i-1}$ и $\varphi=\varphi_i$ имају површину $\displaystyle{P=\frac{1}{2}m_i^2\Delta\varphi_i}$, односно површину $\displaystyle{P=\frac{1}{2}M_i^2\Delta\varphi_i}$, где је $\Delta\varphi_i=\varphi_{i}-\varphi_{i-1},$ $i=1, 2,\ldots, n$. Унија ових исечака представља уписану фигуру $F_u$, односно описану фигуру $F_o$. Површине ових фигура су, респективно, $\displaystyle{\underline{S}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}m_i^2\Delta\varphi_i}}$, $\displaystyle{\overline{S} = \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}M_i^2\Delta\varphi_i}}$, што представља доњу, односно горњу Дарбуову суму функције $\displaystyle{\frac{1}{2}r^2(\varphi)}$ на сегменту $\alpha\leq\varphi\leq\beta$. Због непрекидности функције $r=r(\varphi)$, ове две суме ће бити једнаке и дата фигура ће бити мерљива, па ће површина криволинијског троугла бити $$P=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{r^2(\varphi)d\varphi}.$$

Пример 1. Наћи површину кардиоиде $r=a(1+\cos{\varphi}), 0\leq\varphi\leq2\pi, a>0$.

Решење:

Биће примењена формула за површину криве која је дата у поларним координатама. Важно је приметити да је кардиоида симетрична фигура. $$P=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}{a^2(1+\cos{\varphi})^2d\varphi}=a^2\int_{0}^{\pi}{(1+\cos{\varphi})^2d\varphi}=\frac{3}{2}\pi a^2.$$

Пример 2. Наћи површину леминискате $r^2=a^2\cos{2\varphi}$.

Решење:

Дата крива је затворена и симетрична у односу на праве $r\cos{\varphi}=0$ и $r\sin{\varphi}=0$, па се може израчунати део леминискате који се налази у првом квадранту, што представља четвртину површине целе фигуре. Како је у првом квадранту $0 \leq 2\varphi \leq \frac{\pi}{2}$, биће $0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}$ и то ће бити границе интеграције. Дакле, важи: $$\frac{P}{4}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{r^2d\varphi}=\frac{a^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2\varphi}d\varphi}=\left.\frac{a^2}{4}\sin{2\varphi}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{a^2}{4}.$$ Одавде је $$P=a^2.$$.