Површина равне фигуре задате у параметарском облику

Крива која ограничава фигуру чија се површина тражи може бити задата у параметарском облику. Ако су фигуре $x$ и $y$ интеграбилне на $[a, b]$ и ако су параметарски задате једначине криве $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t \in [a, b]$ онда је површина фигуре која се налази између задате криве, осе $Ox$ и правих $x=x(x)$ и $x=x(b)$ једнака: $$P=\int_{a}^{b}{y(t)x'(t)dt}.$$

Пример 1. Наћи површину између $Ox$ осе и првог свода циклоиде $(0, 2\pi)$ која је дата једначинама $x=r(t-\sin{t})$, $y=r(1-\cos{t})$.

Креирање циклоиде

Решење:

Циклоида је дата у параметарском облику па ће њена површина бити $$P=\int_{0}^{2r\pi}{y(t)x'(t)dt}=2\int_{0}^{r\pi}{y(t)x'(t)dt},$$ због симетричности фигуре чију површину тражимо. Такође, важи да је $x(t)=r(t-\sin{t})$, $x'(t)=r(1-\cos{t})$, $y=r(1-\cos{t})$, $0 \leq t \leq \pi$. Тада је $$P=2\int_{0}^{\pi}{r^2(1-\cos{t})^2dt}=2r^2\int_{0}^{\pi}{(1-2\cos{t}+\cos^2{t})dt}=$$ $$=\left.2r^2\left(\frac{3}{2}t-2\sin{t}+\frac{1}{2}\sin{t}\cos{t}\right)\right|_{0}^{\pi}=3r^2\pi.$$