Занимљиви примери

Пример 1. Стопа раста једног типа биљних ћелија изражена у стотинама је $C$ и представљена је следећим моделом $$\frac{dC}{dt}=4\sqrt{t+1},$$ где је $t$ време мерено у данима. Када је $t = 0$, $C = 9$, што изражава почетни тренутак.

а) Наћи функцију која изражава број ћелија.

б) Наћи број ћелија и одговарајућу стопу раста када је $t = 5$.

Решење:

а) Потребно је наћи функцију $C$. Како је дат диференцијал те функције по променљивој $t$, извршиће се интеграција да би се нашло чему је $C$ једнако. Дакле, $$C=\int{4\sqrt{t+1}dt}=4\int{\sqrt{t+1}dt}=\frac{8}{3}(t+1)^{\frac{3}{2}}+c.$$ Познато је да је у тренутку $t = 0$, број ћелија једнак $C = 9$. Одавде је $$9 = \frac{8}{3}\cdot 1^{3/2}+c,$$ одакле је $\displaystyle{c = \frac{19}{3}}$. Сада је $$C = \frac{8}{3}(t+1)^{\frac{3}{2}}+\frac{19}{3}.$$

б) Број ћелија у тренутку $t = 5$ биће $$C = \frac{8}{3}(5+1)^{\frac{3}{2}}+\frac{19}{3}\approx 46.$$

Пример 2. Популација бактерија има раст $P$ изражен са $$\frac{dP}{dt}=\frac{3000}{1+0,25t},$$ где је $t$ време мерено у данима. Кад је $t = 0$ популација бактерија је 1000.

а) Наћи модел популације $P$ под датим условима.

б) Колика ће бити популација бактерија након три дана?

Решење:

а) Као и у претходном примеру, извршиће се интеграљење. $$P = \int{Pdt}=\int{\frac{3000}{1+0,25t}dt}= 3000\cdot 4\ln{|1+0,25t|}+c=12000\ln{|1+0,25t|} + c.$$ Познато је да популација броји 1000 бактерија у почетном тренутку. $$1000=12000\ln{(1+0,25\cdot 0)}+c,$$ одакле је $c = 1000$. Дакле, $$P=12000\ln{(1+0,25t)}+1000.$$

б) Након три дана је $t = 3$, па ће број бактерија бити $$P=12000\ln{(1+0,75)}+1000\approx7715.$$

Пример 3. Концентрација лека изражена у милиграмима по литру у крви пацијента после $t$ сати може бити представљена преко формуле $$y=500e^{-0,4t}.$$ Наћи просечну количину лека током првих 5 сати пошто је лек примљен.

Решење:

Како се тражи просечна количина лека у крви пацијента, потребно је применити прву теорему о средњој вредности коју смо раније навели. Како се траже резултати за временски интервал од 5 сати, биће $t \in [0, 5]$, па је $$\frac{1}{5}\int_{0}^{5}{500e^{-0,4t}dt}=100\int_{0}^{5}{e^{-0,4t}dt}=100(-2,5e^{-0,4t})|_{0}^{5}\approx 216,2.$$ Дакле, просечна концентрација лека у крви пацијента ће бити $216,2$ милиграма по милилитру након 5 сати.

Пример 4. У зависности од годишњих доба током године долази до промене дужине дана. Ако је $t$ број дана након пролећне равнодневнице, дужину дана је могуће представити преко периодичне функције $$f(t)=12+4\sin{\frac{\pi t}{182}}.$$ Наћи средњу вредност дужине дана током пролећа и лета.

Решење:

Претпоставиће се да пролеће и лето трају укупно половину године, дакле, 182 дана. Сада се може применити теорема о средњој вредности. $$D = \frac{1}{182}\int_{0}^{182}{f(t)dt}=\frac{1}{182}\int_{0}^{182}{(12+4\sin{\frac{\pi t}{182}})dt}=$$ $$=\left.\frac{1}{182}\cdot 12t\right|_{0}^{182}-\left.\frac{4}{\pi}\cos{\frac{\pi t}{182}}\right|_{0}^{182}=12+\frac{8}{\pi}.$$ Просечна дужина дана током пролећа и лета износи $\displaystyle{12+\frac{8}{\pi}\approx 14,55}$ сати.