Момент инерције

Момент инерције је мера отпора тела које ротира и добија се као производ масе тела и полупречника ротације на квадрат тј. $$I=m\cdot d^2.$$ Уколико треба израчунати момент инерције за групу тела различитих маса $m_1, m_2, \ldots, m_n$ који ротирају око тачке на удаљености $d_1, d_2, \ldots , d_n$ респективно, тада је момент инерције једнак $$I=m_1d^2_1+m_2d^2_2+\ldots+m_nd^2_n.$$ Ако су све тачке на истој удаљености од центра ротације тада је момент инерције $$I=(m_1+m_2+\ldots+m_n)R^2,$$ где је $R$ полупречник ротације. Ове формуле могуће је применити када се тражи момент инерције равног лика. Али, шта се дешава када је потребно наћи момент инерције неке криволинијске површи? Нека је дата криволинијска површ која ротира око $Oy$ осе. На датој површи може се уочити се подела са описаним и уписаним правоугаоницима. Сваки карактеристични правоугаоник има ширину $\Delta x$, а висину $y_2-y_1$, па је његова површина $(y_2-y_1)\cdot\Delta x$. Ако је $k$ јединица масе по површини, онда сваки карактеристични правоугаоник има масу $k\cdot(y_2-y_1)\Delta x$. Момент инерције за сваки правоугаоник је $[k(y_2-y_1)\Delta x]\cdot x^2$, јер је сваки правоугаоник на удаљености $x$ од осе $Oy$ па је $x$ полупречник ротације. Одавде се може наћи момент инерције за све типичне правоугаонике. Тај момент инерције представља Дарбуову суму, која је уколико је подела довољно ситна, тј. ако $\lambda(P)\longrightarrow 0$ једнака $$I_y=k\int_{a}^{b}{x^2(y_2-y_1)dx}.$$

Пример 1. Наћи момент инерције за криву $y=1-x^2$ у првом квадранту која ротира око $Ox$ осе.

Решење:

Скицира се график функције па ће се израчунати момент инерције. Границе интеграције су $a=0$ и $b=1$, а горња функција је $y_2=1-x^2$, док је доња $y=0$.

Дакле, момент инерције је $$I=k\int_{0}^{1}{x^2((1-x^2)-0)dx}=k\int_{0}^{1}{(x^2-x^4)dx}=$$ $$=\left.k\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\right|_{0}^{1}=k\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2k}{15}.$$