Рад променљиве силе

Нека променљива сила интензитета $F(x)$ делује на материјалну тачку на путу $AC$ и нека је функција $F$ непрекидна. Правац и смер те силе су стални, док је интензитет променљив и зависи од растојања $x$ између нападне тачке силе и тачке $A$. Циљ је израчунати рад те силе на путу од тачке $a$ до тачке $b$.

Нека је $P=\{x_0, x_1,\ldots, x_n\}$ сегмента $[a, b]$. На сваком $[x_{i-1}, x_i]$ изабраће се произвољна $\xi_i, i=1, 2, \dots, n$. Израз $$\sum_{i=1}^{n}{F(x_i)\Delta x_i}, \Delta x_i = x_i-x_{i-1},$$ представља приближну вредност рада дате силе на путу од тачке $a$ до тачке $b$.

Рад силе интензитета $F(x)$ се онда на том путу дефинише као $$\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{F(\xi_i)\Delta x_i}}=\int_{a}^{b}{F(x)dx}.$$ Хуков закон за опруге: Сила $F$ потребна да истезање или сабијање опруге $x$ варира од њене нормалне дужине до дужине пропорционалне са $x$. Дакле, $$F=kx.$$

Пример 1. Колики рад мора бити извршен на опрузи да би се она смањила са дужине $1 m$ до дужине $0,75 m$, ако је константа истезања $k=16 N/m$.

Решење:

Из Хуковог закона може се закључити се да је $F=16x$. Пређени пут опруге је $1m-0,75m=0,25m$. Према томе, уложени рад износи $$A = \int_{0}^{0.25}{16xdx}=8x^2|_{0}^{0,25}=0,5 N\cdot m.$$

Пример 2. Кабл тежине $30 N/m$ прикачен је за кофу са угљем тежине $3600 N$. Кофа се подиже са дна рударског окна дубине $160 m$ Колики рад је потребно уложити да би се подигла кофа:
а) од дна до половине окна;
б) од половине окна до врха;
в) од дна до врха.

Решење:

За почетак потребно је наћи колика сила је потребна да би се извршио тражени задатак. У овом случају, сила представља тежину кофе и кабла у било ком положају у окну. Нека је $x$ тренутни положај кофе. На дну окна, $x = 0$, на средини $x = 80$, а на врху $x = 160$. Било који положај кофе у окну може се означити са $160 - x$.

Дакле, $$F(x)=30(160-x)+3600=8400-30x.$$ а) Како се кофа подиже са дна до половине окна, границе интеграције ће ићи од 0 до 80. $$\int_{0}^{80}{F(x)dx}=\int_{0}^{80}{(8400-30x)dx}=8400x-15x^2|_{0}^{80}=576000 Nm.$$ б) Кофа се подиже од половине окна до врха, па ће границе интеграције ићи од 80 до 160. $$\int_{80}^{160}{F(x)dx}=\int_{80}^{160}{(8400-30x)dx}=8400x-15x^2|_{80}^{160}=384000Nm.$$ в) Кофа се подиже од дна до врха окна, па границе интеграције иду од 0 до 160. $$\int_{0}^{160}{F(x)dx}= \int_{0}^{160}{(8400-30x)dx}=8400x-15x^2|_{0}^{160}=960000 Nm.$$