Рачунање запремине

Пример 1. Полупречник винског бурета је $30 cm$ при врху, а полупречник бурета на средини је $40 cm$. Висина бурета је $1 m$. Колика је запремина бурета под претпоставком да је бочни лук бурета парабола.

Решење:

Винско буре нема облик ваљка или купе чија је запремина позната израчунавањем по формули па ће бити представљено преко математичког модела и примениће се одређени интеграл ради рачунања запремине. Буре ће се окренути на страну и биће израчуната једначина параболе која представља бочни лук бурета. Та парабола има максимум у тачки $(0, 40)$ и пролази кроз тачке $(50,30)$ и $(-50, 30)$. Једначина параболе је $y=ax^2+bx+c$. Како наведене тачке припадају параболи, оне морају задовољавати једначину параболе. Уколико се уврсте координате тачака у једначину добија се систем једначина из кога ће се израчунати вредност константи $a, b$ и $c$. Систем који се том приликом добија је $$\begin{array}{rcl} a\cdot 0+b\cdot 0 + c = 40\\ 2500a+50b+c=30\\ 2500a-50b+c=30. \end{array}$$ Решења овог система су $a=-\frac{1}{250}, b=0, c=40$. Дакле, тражена парабола има једначину $y=-\frac{x^2}{250}+40$. Када ова парабола ротира око $Ox$ осе, између тачака $(-50,30)$ и $(50,30)$ добија се обртно тело које одговара винском бурету чију се запремина тражи.

Овде ће бити примењена формула за рачунање запремине обртног тела. $$V=\pi\int_{a}^{b}{y^2dx}=\pi\int_{-50}^{50}{\left(-\frac{x^2}{250}+40\right)^2dx}=2\pi\int_{0}^{50}{\left(\frac{x^4}{62500}-\frac{80x^2}{250}+1600\right)dx}=$$ $$=\left.2\pi\left(\frac{x^5}{312500}-\frac{80x^3}{750}+1600x\right)\right|_{0}^{50}=425162 cm^2=425,162 l\approx 425,2 l.$$

На сличан начин може се израчунати запремина лубенице. Лубеница је сфероидног облика, дакле, може се представити као елипса која ротирањем око осе $Ox$ формира обртно тело, тј. сфероид. Запремина сфероида је већ израчуната, па ако се зна дужина дуже и краће полуосе елипсе у хоризонталном пресеку лубенице може се израчунати њена запремина.