Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Конвексност и конкавност графика функције

Дефиниција: Нека је функција f диференцијабилна на интервалу (a, b). График функције f је конвексан (конкаван) на интервалу (a, b), ако за свако c ∈ (a, b) и за свакo x ∈ (a, b)\ {c} важи:
f (x) > y_t (x)
( f (x) < y_t (x) )
где је y_t (x) = f (c) + f '(c)(x - c) једначина тангенте на криву y = f (x) у тачки (c, f (c)).

Ако је график функције f конвексан (конкаван) на интервалу (a, b), каже се да је и функција f конвексна (конкавана) на интервалу (a, b).

Теорема: Нека је функција f два пута диференцијабилна на интервалу (a, b).
Ако је f " > 0 за свако x ∈ (a, b), тада је функција f конвексна над интервалом (a, b).
Ако је f " < 0 за свако x ∈ (a, b), тада је функција f конкавна над интервалом (a, b).

Дефиниција: Нека је функција f непрекидна на интервалу (a, b) и диференцијабилна у тачки c ∈ (a, b).
Тачка P (c, f (c)) је превојна тачка графика функције f ако постоји такво δ > 0 да је функција f конвексна на интервалу (c - δ , c), а конкавна на интервалу (c, c + δ ) (или: да је функција f конкавна на интервалу (c - δ , c), а конвексна на интервалу (c, c + δ )).

Из наведене дефиниције следи да је услов: f "(c) = 0 потребан да функција има превојну тачку (не и довољан).

Теорема: Нека је функција диференцијабилна у тачки c ∈ (a, b) и има други извод на интервалу (a, b).
Тачка P (c, f (c)) је превојна тачка графика функције f ако важи један од следећа два услова:
1) f " > 0 за x ∈ (a, c) и f " < 0 за x ∈ (c, b) или
2) f " < 0 за x ∈ (a, c) и f " > 0 за x ∈ (c, b)

Пример: Дата је функција f (x) = x³.

Функција f (x) = x³ има други извод f " (x) = 6 x, а како је f " (0) = 0 то је испуњен потребан услов да тачка
(0, f(0)) = (0, 0) буде превојна тачка графика функције f.
Функција f (x) = x³ има негативан други извод за x > 0 и ту је конкавна (све тачке графика функције су испод тангенте било које тачке из овог интервала), а за x < 0 има позитиван други извод и ту је конвексна (све тачке графика функције су изнад тангенте било које тачке из овог интервала). Следи да је тачка f(0) = (0, 0) превојна тачка графика функције f.

• Илустрација примера: