Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
• Теореме »
• Тејлоров полином »
• Лопиталово правило »
• Монотоност »
• Конвексност »
• Графици функција »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Тејлоров полином
Тејлорова формула са користи за апроксимацију функције f, дефинисане у некој околини тачке a, полиномом степена n.
Претпоставимо да функција f (x) има у тачки x = a све изводе до степена n закључно.
Имајући у виду да полином можемо записати у облику:
P_n (x)= \sum _ {k = 0} ^n a_k(x-a)^k = \sum _ {k = 0} ^n \frac{P_n^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
апроксимирамо функцију f (x) полиномoм степена n:
P_n (x,a)= f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
Полином Pn (x, a) се назива Тејлоров полином функције f (x) .
При апроксимацији функције f (x) полиномом Pn (x, a) правимо грешку која се назива остатак и износи:
R_n(x)= f(x) - P_n (x,a).
Теорема: Нека функција f (x), непрекидна са свим својим изводима до n-тог реда закључно у некој околини U тачке a, има извод (n+1)-ог реда у тој околини. Ако је x ∈ U и p ∈ N, онда (за неко ξ које је између a и x) важи формула:
\newline f(x)= f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + R_n(x)
\newline R_n(x)= ( \frac{x-a}{x- \xi})^p \frac{(x- \xi)^{n+1}}{p \cdot n!}f^{(n+1)}( \xi).
Ако у претходној формули ставимо а = 0, добићемо Маклоренову формулу:
f(x)= f(0)+ \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + R_n(x)
• Илустрација Тејлоровог полинома:
Облици остатка Rn(x):
• Шлемилх - Рошов
R_n(x)= ( \frac{x-a}{x- \xi})^p \frac{(x- \xi)^{n+1}}{p \cdot n!}f^{(n+1)}( \xi)
• Лагранжов (за p = n+1, ξ = a + θ ( x - a ))
R_n(x)= \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}( a + \theta (x-a))
• Кошијев (за p = 1, ξ = a + θ ( x - a ))
R_n(x)= \frac{(x-a)^{n+1} \cdot (1- \theta)^n}{n!}f^{(n+1)}( a + \theta (x-a))
• Пеанов
R_n(x)= o ((x-a)^n), \qquad x \to a