Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
• Теореме »
• Тејлоров полином »
• Лопиталово правило »
• Монотоност »
• Конвексност »
• Графици функција »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Теореме о средњој вредности
• Теорема ФЕРМАА: (потребан услов)
Нека за функцију f важе следећи услови:
1. дефинисана је на интервалу [a, b]
2. достиже у некој унутрашњој тачки c ∈ [a, b] највећу (или најмању) вредност
3. постоји f ' (c)
Тада је f ' (c) = 0.
Претпоставимо да функција f достиже у тачки c највећу вредност.
Тада је f(x) ≤ f(c) за све x ∈ [a, b], па за x < c важи:
\newline 1. \frac {f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 \qquad x \in [a, c) \Rightarrow f'_{-}(c) \geq 0
\newline
\newline 2. \frac {f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0 \qquad x \in (c, b] \Rightarrow f'_{+}(c) \geq 0
Дакле: f ' (c) = 0.
• Теорема РОЛА: (довољан услов)
Нека за функцију f важе следећи услови:
1. непрекидна је на интервалу [a, b]
2. диференцијабилна је на интервалу (a, b)
3. важи f (а) = f (b)
Тада постоји c ∈ [a, b] за коју је f ' (c) = 0.
Тачке у којима је извод функције једнак нули се називају стационарне тачке.
Како је функција f непрекидна на интервалу [a, b], постоје тачке c1 и c2 из интервала [a, b] такве да су f (c1) и f(c2) најмања и највећа вредност функције f.
1. Ако се тачке c1 и c2 поклапају са крајевима интервала [a, b], тада је функција f константна и f '(x) =0 за све x из [a,b] .
2. Нека је c1 ∈ [a, b]. Како постоји f ' (c1), према теореми Фермаа је f ' (c1) = 0.
- Механичка интерпретација Ролове теореме:
Нека се тачка креће по правој и нека се у тренутку t налази у тачки c са координатом x(t). Нека је функција x(t) непрекидна за t ∈ [a, b] и диференцијабилна за t ∈ (a, b). Ако се положаји тачке у тренуцима t = a и t = b поклапају ( тј. x(a) = x(b)), онда мора постојати тренутак c ∈ (a, b) у којем је брзина тачке једнака нули.
• Илустрација Ролове теореме:
• Теорема ЛАГРАНЖА: (Теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна)
Нека за функцију f важе следећи услови:
1. непрекидна је на интервалу [a, b]
2. диференцијабилна је на интервалу (a, b)
Тада постоји c ∈ [a, b] за коју важи:
\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).
Функција
g(x)= f(x)-f(a)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a), \qquad x \in [a, b]
задовољава услове Ролове теореме.
g '(x)= f '(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Па на основу Ролове теореме постоји тачка c ∈ [a, b] за коју је g ' (c) = 0. Одакле следи:
0= f '(c)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f '(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
- Механичка интерпретација Лагранжове теореме:
Ако се тачка креће по правој по закону x = x(t) t ∈ [a, b], при чему је функција x(t) непрекидна за t ∈ [a, b] и диференцијабилна за t ∈ (a, b), онда је средња брзина за временски интервал [a, b] једнака:
\frac{x( b) - x( a)}{b - a}.
Тренутна брзина тачке у тренутку t0 ∈ (a, b) једнака је средњој брзини у поменутом интервалу, јер је:
\frac{x( b) - x( a)}{ b - a} = x'(t_0).
- Геометријска интерпретација Лагранжове теореме:
Лагранжова теорема говори да ако је крива y= f (x) непрекидна за x ∈ [a, b] и у свакој тачки интервала (a, b) има тангенту, онда постоји тачка c ∈ (a, b), таква да је тангента у тачки (c, f (c)) паралелна сечици кроз тачке (a, f (a)) и (b, f (b)).
• Илустрација Лагранжове теореме: