Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Монотоност и екстремне вредности функције

Теорема: Нека је функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b] и диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b).
- Ако је f ' (x) > 0 за свако x ∈ (a, b), тада је функција f монотоно растућа на интервалу [a, b].
- Ако је f ' (x) < 0 за свако x ∈ (a, b), тада је функција f монотоно опадајућа на интервалу [a, b].



Теорема: Нека је функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b] и диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b).
- Ако је f монотоно растућа на интервалу [a, b], тада је f ' (x) ≥ 0 за свако x ∈ (a, b).
- Ако је функција f монотоно опадајућа на интервалу [a, b], тада је f ' (x) ≤ 0 за свако x ∈ (a, b).



Тачке у којима је извод функције једнак нули (или не постоји) се називају стационарне (или критичне) тачке.

Теорема: Ако је функција f непрекидна на интервалу (a, b) и има екстремну вредност (тј. локални минимум или локални максимум) у тачки c c ∈ (a, b) , тада је тачка c критична тачка функције f (тј. или је f '(c) = 0 или f '(c) не постоји).



Геометријска интерпретација наведене теореме је да диференцијабилна функција има хоризонталну тангенту у тачки локалног екстрема.

Теорема: Нека је функција f: [a, b] → R непрекидна на затвореном интервалу [a, b], диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b) и нека је тачка c критична тачка за функцију f.
- Ако је f ' (x) > 0 за x ∈ (a, c), а f ' (x) < 0 за x ∈ (c, b), тада функција f има локални максимум у тачки c.
- Ако је f ' (x) < 0 за x ∈ (a, c), а f ' (x) > 0 за x ∈ (c, b), тада функција f има локални минимум у тачки c.
- Ако је f ' (x) > 0 или f ' (x) < 0 за све x ∈ (a, b), тада функција f нема екстремне вредности у тачки c.

Теорема: Нека је функција f два пута диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b) који садржи тачку c и нека је f ' (c) = 0.
- Ако је f " (c) < 0, тада функција f има локални максимум у тачки c.
- Ако је f " (c) > 0 тада функција f има локални минимум у тачки c.

Пример: Одредити интервале монотоности и екстремне вредности за функцију:



Решење:


Функција f '(x) је позитивна за x ∈ (-∞, -5/3) и x ∈ (1, ∞), па функција f расте на тим интервалима.
Функција f '(x) је негативна за x ∈ (-5/3, 1), па функција f опада на том интервалу.
Функција f има максимум у тачки x = -5/3, а минимум у тачки x = 1.