Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
• Теореме »
• Тејлоров полином »
• Лопиталово правило »
• Монотоност »
• Конвексност »
• Графици функција »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Лопиталова правила
Гијом Франсоа Антоан, Маркиз де Лопитал
(1661 - 1704) је био француски математичар. Изучавао је инфинитезималну анализу и аутор је прве књиге о диференцијалном калкулусу, l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes.
Теорема: Лопиталово правило
Нека су функције f и g диференцијабилне у свакој тачки интервала (a, b) и нека су испуњена следећа три услова:
1. g'(x) \neq 0, x \neq c
2. функције f и g теже 0 (респективно теже ка ∞) када x тежи c
3. \exists \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}
Тада постоји гранична вредност:
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}, \qquad \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Слика 6.1 Лопитал (подићи слику)
Теорема: Лопиталово правило
Нека су функције f и g диференцијабилне у свакој тачки интервала (a, ∞) и нека су испуњена следећа три услова:
1. g'(x) \neq 0, x \in ( \alpha, \infty) \qquad \alpha > a
2. функције f и g теже 0 (респективно теже ка ∞) када x тежи ∞
3. \exists \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}
Тада постоји гранична вредност:
\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}, \qquad \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Пример: Применом Лопиталове теореме израчунати граничне вредности:
\newline 1. \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 +x + 1}{x^4 - x^3 -x +1}
\newline
\newline 2. \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x^2}
\newline
\newline 3. \lim_{x \to \infty} x ( \frac{ \pi}{2} - arctgx)
\newline
\newline 4. \lim_{x \to 0} xlnx
\newline
\newline 5. \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{3x}}
Решења:
\newline 1. \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 +x + 1}{x^4 - x^3 -x +1}=\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 -2x +1}{4x^3 - 3x^2 -1}= \lim_{x \to 1} \frac{6x-2}{12x^2 -6x}= \frac{4}{6}= \frac{2}{3}
\newline
\newline 2. \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x^2}= \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{2x}= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} = \frac{1}{2}
\newline
\newline 3. \lim_{x \to \infty} x ( \frac{ \pi}{2} - arctgx) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ \pi}{2} - arctgx}{ \frac{1}{x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{1+x^2}}{- \frac{1}{x^2}} =1
\newline
\newline 4. \lim_{x \to 0} xlnx = \lim_{x \to 0} \frac{lnx}{ \frac{1}{x}}= \lim_{x \to 0} (-x)=0
\newline
\newline 5. \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{3x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{3e^{3x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3e^{3x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{9e^{3x}}=0