Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
• Дефиниција »
• Правила »
• Диференцијал »
•Геометријско тумачење »
• Изводи вишег реда »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Изводи вишег реда
Претпоставимо да функција f има први извод f ' на интервалу (a, b) и нека је x0 ∈ (a, b).
Други извод функције f у тачки x0 је извод функције f ' у тачки x0 ( ако постоји ) и обележава се са
f ''(x0) = (f '(x0))' .
Аналогно се дефинишу трећи, четврти, ..., n-ти извод функције f у тачки x0 и обележавају се редом са
f ''(x0), f '''(x0), ..., f (n)(x0).
Пример 1: Одредити изводе f ', f '', f ''' и f (4)функција:
\newline a) f(x)= 2x^3-x^2+1+3lnx, x>0
\newline
\newline b) f(x)= \cos^2 x
Решење:
\newline a) f'(x)= 6x ^ 2 - 2x + 3x^ {-1}, x>0
\newline f''(x) = 12x - 2 - 3x^{-2}, x>0
\newline f'''(x) = 12 + 6x^{-3}, x>0
\newline f^ {(4)} (x) = -18x^{-4}, x>0
\newline
\newline b) f'(x)= -2 \cos x \sin x= -sin2x
\newline f''(x)= -2 \cos 2x
\newline f'''(x)= 4 \sin 2x
\newline f^ { (4) } (x) = 8 \cos 2x
Пример 2: Одредити f (0), f ' (0), f '' (0) и f ''' (0) функцијe:
f(x)= 24e^x - 24x - 12x^2 - 4x^3 - x^4 - 20
Решење:
\newline f(x)= 24e ^ x-24x-12x^2-4x^3-x^4-20 \Rightarrow f(0)=4
\newline f ' (x)= 24 e ^ x -24-24x-12x^2 - 4x^3 \Rightarrow f ' (0)=0
\newline f '' (x)= 24 e ^ x -24-24x-12x^2 \Rightarrow f '' (0)=0
\newline f '' (x)= 24 e ^ x -24-24x \Rightarrow f ''' (0)=0
Пример 3: Одредити f (n)(x), x ∈ N, n ∈ N функција:
\newline a) f(x)= e^ x
\newline
\newline b) f(x)= \sin x
Пример 4: Доказати да функција y = exsinx задовољава једначину y'' - 2y ' + 2y = 0 .
Решење:
\newline y ' = e ^ x \sin x + e ^ x \cos x
\newline y '' = e ^ x \sin x + e ^ x \cos x + e ^ x \cos x - e ^ x \sin x = 2 e ^ x \cos x
\newline y'' - 2y ' + 2y = 2 e ^ x \cos x - 2(e ^ x \sin x + e ^ x \cos x ) + 2 e ^ x \sin x = 0
Пример 5: Нека је p(x) полином другог степена. Ако је p(0) = 1, p ' (0) = 2, p'' (0) = 6, израчунати p '' (3).
Решење:
\newline p(x)= аx^2 + bx + c \Rightarrow p(0) = 1 = c
\newline p ' (x)= 2аx + b \Rightarrow p ' (0) = 2 = b
\newline p '' (x)= 2а \Rightarrow p ''(0) = 6 = 2a
\newline p(x)= 3x^2 +2x + 1 \Rightarrow p ''(3) = 6