Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
• Дефиниција »
• Правила »
• Диференцијал »
•Геометријско тумачење »
• Изводи вишег реда »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Основна правила за први извод функције
• Теорема: Ако су функције f и g дефинисане на интервалу (a, b) и имају прве изводе у тачки x ∈ (a, b), тада важи:
\newline (Af(x)+Bg(x))'= Af'(x)+Bg'(x) \Rightarrow (f(x) \pm g(x))'= f'(x) \pm g'(x)
\newline
\newline (f(x) \cdot g(x))'=f'(x) \cdot g'(x)
\newline
\newline (\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2} (x)}
Пример: Одредити изводе функција:
\newline f(x)= 2^x + 3tgx +8
\newline
\newline f(x)=e^ {x}lnx
\newline
\newline f(x)=\frac{\sin x}{x^2 +1}
Решења:
\newline f' (x)= 2^x ln2 + \frac{3}{ \cos^2 x}
\newline
\newline f'(x)= e^x lnx + \frac{e^x}{x}
\newline
\newline f'(x)= \frac { \cos x (x^2 +1) - 2x \sin x}{(x^2 +1) ^2}
Извод сложене функције
• Теорема: Нека функција g : (a, b) → (c, d) има извод у тачки x0 ∈ (a, b) и нека функција f : (c, d) → R има извод у тачки g(x0) ∈ (c, d). Тада сложена функција h (x)= f(g(x)), x ∈ (a, b) има извод у тачки x0 и важи:
h'(x_0)=f'_g(g(x_0)) \cdot g'(x_0)
Пример: Одредити изводе функција:
\newline f(x)=ln^2 x, x>0
\newline
\newline f(x)= \sin ^3 x ( x^2 + e^x )
\newline
\newline f(x)= x^ { \alpha}, \alpha \in \mathbr R, x>0
Решења:
\newline f'(x)=(ln^2 x) '= 2lnx \cdot \frac{1}{x}
\newline
\newline f'(x)= ( \sin ^3 x (x^2 + e^x ))'= 3( \sin {(x^2 + e^x )})^2 \cdot \cos{(x^2 + e^x )} \cdot (2^x +e^x)
\newline
\newline f'(x)= (x^ { \alpha} )' = e^ {alnx} \cdot ( \alpha lnx)'= e^ {alnx} \cdot( \alpha \frac{1}{x})= \alpha x^ { \alpha} x^ {-1} = \alpha x^ { \alpha -1}
Извод инверзне функције
Извод инверзне функције f -1 за дату функцију f може се одредити или експлицитним налажењем инверзне функције, или помоћу релације:
(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
Пример: За функцију f(x) = sinx , x ∈ [-π/2, π/2] одредити извод инверзне функције arcsinx.
Решењe:
\newline f(x)=sinx, x \in [- \frac{ \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}] \Rightarrow f^{-1}(x)= arcsin(x), x \in [-1, 1]
\newline
\newline f(x)=sinx, x \in [- \frac{ \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}] \Rightarrow f'(x)= \cos x
\newline
\newline f'(f^{-1}(x))= \cos {arcsinx} = \sqrt {1- \sin^2 {arcsinx}} = \sqrt {1-x^2}
\newline
\newline (arcsinx)'= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}, |x|<1