Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
• Дефиниција »
• Правила »
• Диференцијал »
•Геометријско тумачење »
• Изводи вишег реда »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Дефиниција првог извода функције
Дефиниција: Нека је реална функција f дефинисана на интервалу (a, b) и нека је x0 тачка из интервала (a, b). Гранична вредност
f'(x_0)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
ако постоји, назива се први извод функције f у тачки x0.
Функција f : (a, b) → R је диференцијабилна у тачки x0 ∈ (a, b) ако она има први извод у тој тачки.
Функција f : (a, b) → R је диференцијабилна на интервалу (a, b) ако је диференцијабилна у свакој тачки тог интервала. У том се случају функција f ' : (a, b) → R која броју x ∈ (a, b) додељује број f '(x) зове први извод функције f.
• Пример диференцијабилне функције на интервалу (2, 16):
Леви извод (респективно десни извод) функције f у тачки x0 је дефинисан са:
\newline f'_-(x_0)= \lim_{h \to 0-}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
\newline f'_+(x_0)= \lim_{h \to 0+}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
Функција f има извод у тачки x0 ако постоје леви и десни извод у тој тачки и једнаки су, тј:
\newline f'_-(x_0)= f'_+(x_0)
Теорема: Ако је функција f : (a, b) → R диференцијабилна у тачки x0 ∈ (a, b), тада је она непрекидна у тој тачки. (Потребан услов)
Непрекидност функције f у тачки x0 следи из:
\newline \lim_{h \to 0}(f (x_0 +h) - f(x_0))= \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\cdot h= f' (x) \cdot 0 =0 \Rightarrow \lim_{h \to 0} f(x_0 +h) = f(x_0)
Што значи да је функција f непрекидна у тачки x0.
Наведена теорема не даје и довољан услов, па не важи да ако је функција f непрекидна у тачки x0 да је и диференцијабилна у истој.
• Пример:
\newline f(x)= |x|
\newline f'_-(0)= \lim_{h \to 0-} \frac{f(0 + h)- f(0)}{h}= \lim_{h \to 0-} \frac{|0 + h|- |0|}{h}= \lim_{h \to 0-}\frac{|h|}{h}= \lim_{h \to 0-}\frac{-h}{h} = -1
\newline f'_+(0)= \lim_{h \to 0+} \frac{f(0 + h)- f(0)}{h}= \lim_{h \to 0+} \frac{|0 + h|- |0|}{h}= \lim_{h \to 0+}\frac{|h|}{h}= \lim_{h \to 0+}\frac{h}{h} = 1
\newline f'_-(0) \neq f'_+(0)
Дакле, ова функција нема први извод у тачки 0 и поред тога што је у њој непрекидна.