Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Особине функција

Испитати функцију значи одредити њене особине.
Неке од особина функција су:

Парност/непарност
Функција f: А→B , где је скуп А симетричан, је парна ако важи: (А x ∈ А) f(-x) = f (x). Геометријски, то значи да је график парне функције осно симетричан у односу на y-осу.
Функција f: А→B , где је скуп А симетричан, је непарна ако важи: (А x ∈ А) f(-x) = - f(x). Геометријски, то значи да је график непарне функције централно симетричан у односу на координатни почетак.
Функција може бити или парна, или непарна или ни парна ни непарна.

Ограниченост
Функција f: А→B је ограничена на скупу X ⊂ А ако постоји константа C > 0 са особином (∀ x ∈ X) | f (x) | ≤ C.

Периодичност
Функција f: А→B је периодична на А ако постоји реалан број τ ≠ 0 са особином: (А x ∈ А) x+ τ ∈А, f(x+τ) = f(x). Број τ се тада назива период функције f: А→B . Основни период функције f је најмањи позитивни период те функције (ако постоји).

Монотоност
Дефиниција: Функција f: А→B:
•Монотоно расте ( респективно не опада) на А ако за сваки пар (x, y) ∈ А × А важи x < y ⇒ f(x) < f(y) ( респективно x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) ).
•Монотоно опада ( респективно не расте) на А ако за сваки пар (x, y) ∈ А × А важи x < y ⇒ f(x) > f(y) (респективно x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) ).

Екстреми
Дефиниција: Функција f: А→B има:
• локални максимум ( респективно строги локални максимум) у тачки a ∈ А ако постоји број ε > 0 са особином да важи x ∈ (a - ε, a + ε) ∩ А ⇒ f(x) ≤ f(a) ( респективно x ∈ (a - ε, a + ε) ∩ А и (x ≠ a) ⇒ f(x) < f(a) )
• локални минимум ( респективно строги локални минимум) у тачки a ∈ А ако постоји број ε > 0 са особином да важи x ∈ (a-ε, a+ ε) ∩ А ⇒ f(x) ⇒ f(a) ( респективно x ∈ (a - ε, a + ε) ∩ А и (x ≠ a) ⇒ f(x) > f(a) )
• глобални максимум (респективно глобални минимум) у тачки a ∈ А ако је f(a) највећа (респективно најмања) вредност функције f на скупу А.

Осим наведених особина, у испитивању функција, наводе се још и особине:
- конвексност/конкавност функције,
- превојне тачке и
- асимптоте,
које ће касније бити детаљније објашњене.