Superficie de un cuerpo

La superficie de un cuerpo de rotación es: $$S(P)=\sum_{i=1}^{n}{\pi[f(x_{i-1})+f(x_i)]\sqrt{\Delta x^2_i+(\Delta f(x_i))^2}},$$ $$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta f(x_i)=f(x_i)-f(x_{i-1}),$$ $$\frac{\Delta f(x_i)}{\Delta x_i}=f'(\xi_i),$$ $$S(P)=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{2\pi\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\sqrt{1+f'^2(\xi_i)}\cdot\Delta x_i}},$$ $$S(P)=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}.$$ Ejemplo: Calcular la superficie de una esfera. $$y=\sqrt{r^2-x^2}, y'=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$$ $$S=2\pi\int_{-r}^r{\sqrt{r^2-x^2}\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx}$$ $$S=4\pi r\int_0^r{dx}=4\pi r^2.$$