Volumen de un cuerpo

El volumen de un cuerpo en rotación es:

$$V=\pi\int_{a}^{b}{f^2(x)dx}.$$

Ejemplo: Calcular el volumen del esferoide que se forma mediante la rotación de una elipse con semiejes a y b alrededor del eje Ox.


Aplicamos la fórmula para calcular el volumen de una figura en el espacio. $$V = \pi\int_{-a}^a{\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)dx}.$$ $$V=2\pi\int_0^a{\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)dx}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(\left.a^2x\right|_0^a-\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^a\right)=\frac{2\pi b^2}{a^2}\frac{2a^3}{3}=\frac{4}{3}ab^2\pi.$$ En particular, para $ a = b = r $ se obtiene la ecuación de la esfera $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $. El volumen, que en este caso se obtiene mediante la rotación de un círculo alrededor del eje Ox, es: $$V=\frac{4}{3}rr^2\pi=\frac{4}{3}r^3\pi.$$ La fórmula es la del volumen de la esfera.