Longitud de un arco

La curva L tiene una longitud de arco: $$L=\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2-(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}},$$ $$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta f(x_i)=f(x_i)-f(x_{i-1}),$$ $$\frac{\Delta f(x_i)}{\Delta x_i}=f'(\xi_i),$$ $$L=\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f'(\xi_i))^2\cdot(x_i-x_{i-1})^2}}=\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1+(f'(\xi_i))^2}\cdot(x_i-x_{i-1})},$$ $$L=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(f'(x))^2}dx}.$$

Ejemplo: Calcular la circunferencia de un círculo de radio r, r>0.

La circunferencia de un círculo es la longitud de dos semicírculos. La ecuación del semicírculo que pertenece al semiplano superior es $y=\sqrt{r^2-x^2}$. Entonces $\displaystyle{f'(x)=y'=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}}$. $$O=2\int_{-r}^{r}{\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx}=2r\int_{-r}^{r}{\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}=\left.2r\arcsin{\frac{x}{r}}\right|_{-r}^{r}=4r\arcsin{1}=2r\pi.$$