Površina rotacione površi
Neka je data neka kriva funkcijom $y=f(x)$ koja je neprekidna na odsečku $[a,b]$. Ako luk koji ova kriva formira nad odsečkom $[a,b]$ rotira oko $x$ ose, onda će on opisivati jednu (rotacionu ) površ. Površinu $P$ ove površi ćemo sada odrediti pomoću određenog integrala
Podelimo najpre luk $AB,$ gde je $A(a,f(a)), B(b,f(b))$ na $n$ delova tačkama $A=M_0,M_1, ... , M_k,M_{k+1}, ... , M_n=B.$ Ako se ove tačke sada povežu dužima $M_k,M_{k+1}$ dobiće se jedna poligona linija $AM_1 M_2 ... M_{n-1}B,$ koja ima $n$ zajedničkih tačaka sa lkom $AB.$ Označimo dužinu duži $M_k M_{k+1}$ sa $\triangle s_k, (k=0,1,..., n-1).$ Svaka od ovih duži pri rotaciji oko $x-$ose opisuje omotač jedne zarubljene kupe čija je površina $\triangle P_k.$ Ako sa $x_k$ označimo apcise a sa $y_k=f(x_k)$ ordinate tačaka $M_k$ za $(k=0,1,...,n),$ onda su $y_k$ i $y_{k+1}$ poluprečnici osnova kupe koja nastaje rotacijom duži $M_k M_{k+1} ,$ dok je ova duž njena izvodnica. Kako je površina omotača zarubljene kupe čiji je poluprečnik manje osnove $r$ a poluprečnik veće osnove $R$ i čija je izvodnica $s$ jednak $$P=s\cdot \pi (r+R)$$ to je $$\triangle P_k = \triangle s_k \cdot \pi (y_k +y_{k+1}).$$ Neka je $\triangle x_k = x_{k+1} - x_k ,$ a $\triangle y_k = y_{k+1} -y_k.$ Kako je $$\triangle s_k=\sqrt{(\triangle x_k)^2 + (\triangle y_k)^2} = \triangle x_k \sqrt{1+(\frac{\triangle y_k}{\triangle x_k})^2 }$$ i kako je $\frac{\triangle y_k}{\triangle x_k}=f'(t_k), \; t_k \in (x_k, x_k+1)$ to je $$\triangle P_k = \pi [ f(x_k)+ f(x_{k+1}) ] \sqrt{1+[f'(t_k)]^2} \triangle x_k .$$ Cela površina koju opisuje poligonalna linija $AM_1 M_2 ... M_{n-1} B$ biće, prema tome, $$P_n = \sum ^{n-1}_{k=0} \triangle P_k = \pi \sum_{k=0}^{n-1} [f(x_k) +f(x_{k+1})]\sqrt{1+[f'(t_k)]^2}\triangle x_k .$$
Kako broj podeonih tačaka luka $AB$ a time i tačaka na poligonalnoj liniji $A M_1 M_2 ... M_{n-1} B$ raste, njihovo maksimalno rastojanje se smanjuje. To znači da će se smanjivati i razlika između površine $P$ površi koju opisuje luk i površine $P_n$ koju opisuje poligonalna linija. Drugim rečima, $$P=\lim_{n\rightarrow \infty } P_n=\pi \lim_{n\rightarrow \infty} \sum _{k=0}^{n-1} [f(x_k) +f(x_{k+1})]\sqrt{1+[f'(t_k)]^2} \triangle x_k.$$ Kako $x_k \rightarrow t_k$ i $x_{k+1}\rightarrow t_k$ kada $n\rightarrow \infty $, pa ako zamenimo u gornjoj jednakosti $$P=\pi \lim_{n\rightarrow \infty } \sum^{n-1}_{k=0} 2f(t_k)\sqrt{a+[f'(t_k)]^2} \triangle x_k=2\pi \int^{b}_{a} f(x)\sqrt{a+[f'(x)]^2} dx$$