Površina geometrijskih figura

Površina zarubljene kupe

      Ako kupu presečemo jednom ravni koja je paralelna sa ravni osnove, dobićemo dva tela: jedanu (manju) kupu i telo koje ćemo nazvati zarubljena kupa. Zarubljena kupa je, dakle, ograničena sa delom konusne površi (omotačem) i sa dva kruga koji pripadaju paralelnim ravnima.

      Koristeći se formulom za izračunavanje površine prave kupe, izračunaćemo površinu prave zarubljene kupe. Neka su dati poluprečnici $r$i $r_1$ osnova zarubljene kupe i dužina izvodnice $s$. Dopunimo zarubljenu kupe do prave kupe, kao na apletu ispod, njenu izvosnicu označimo sa $s_1$ .

      Površina osnova prave zarubljene kupe se lako izračunavaju: $B=\pi r^2,$ $B_1=\pi r^2 _1.$ Površinu omotača nalazimo kao razliku površina veće i manje kupe. Pa je površina omotača jednaka $$M=\pi r s_1 -\pi r_1 (s_1 - s)=\pi (r - r_1)s_1 + \pi r_1 s,$$ još je potrebno izraziti $s_1$ u funkciji od $r, r_1$ i $s.$ Iz sličnosti pravouglih trouglova, čije su hipotenuze $s$ i $s_1,$ imamo odnos $(r-r_1):r=s:s_1,$ odakle je $s_1=\frac{r s}{r-r_1}.$ Sada dobijamo $$M=\pi r s +\pi r_1 s=\pi (r+r_1)s.$$ Dakle, površina prave zarubljene kupe je: $$P=B_1+B+M=\pi r^2 + \pi r_1 ^2+\pi (r+r_1)s.$$