Elementarne funkcije

Logaritamska funkcija

Primene logaritamskih funkcija

Primer 1. Neka je količina radioaktivne materije nakon $t$ dana zadata formulom $C_{t}=1000 \cdot e^{−0.1t}$. Odredite vreme poluraspada te materije.
Rešenje
Vreme poluraspada je vreme potrebno da se početna količina materije smanji na polovinu. Tražimo, dakle, vreme $t$ za koje je $C_{t}=\frac{C_{0}}{2}$ . Uvrštavajući $t=0$ dobijamo C_{0}=1000. Odatle je $$C_{t}=1000e^{-0.1t}=500$$ Da bismo odredili $t$ moramo da rešimo jednačinu $e^{-0.1t}=\frac{1}{2}$. Logaritmujući obe strane dobijamo jednačinu $$-0.1t=\ln \frac{1}{2},$$ a iz nje lako dobijamo $t=6.9$. Vreme poluraspada materije je jednako $6.9$ dana.

Primer 2. Richterova lestvica služi za izražavanje i uporedivanje jačine zemljotresa. Potresu jačine $I$ pridružuje se na Richterovoj lestvici broj $j = \log \frac{I}{I_{0}}$, gde je $I_{0}$ fiksna jačina vrlo slabog zemljotresa kog još registruju instrumenti. Izrazite brojevima s Richterove lestvice jačine zemljotresa $1000I_{0}$, $1000000I_{0}$ i $100000000I_{0}$. Koliko puta je zemljotres jačine $7.3$ po Richteru jači od zemljotresa jačine $5.3$?
Rešenje
Zemljotresi su jačine $3$, $6$ i $9$ na Richterovoj lestvici. Ako je $j_{1}=7.3$, a $j_{2}=5.3$, to znači da je $I_{1}=10^{7.3}I_{0}$ i $I_{2}=10^{5.3}I_{0}$. Odatle, $\frac{I_{1}}{I_{2}}=10^{2}$. Dakle, pomak za $2$ na Richterovoj lestvici znači promenu jačine za faktor $10^{2}=100.$

Primer 3. Broj bakterija u nekoj kulturi opada po formuli $B(t)=250000e^{−0.4t}$, gde je $t$ vreme izraženo u satima. Koliko će bakterija biti u kulturi nakon jednog sata? Nakon koliko sati će u kulturi ostati još samo $25000$ bakterija?
Rešenje
Prvo pitanje svodi se na uvrštavanje vremena $t=1$ u formulu, dakle na računanje vrednosti izraza $B(1)$. Odgovor je $B(1)=250000e^{−0.4}=167580$. Drugo se pitanje svodi na rješavanje jednačine $250000e^{−0.4t}=25000$ po nepoznatoj $t$. Logaritmovanjem dobijamo $−0.4t=\ln \frac{1}{10}$ , odakle sledi $t=5.76$ sati.