Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
• Дефиниција »
• Кошијеви низови »
• Особине »
• Монотони низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Монотони низови
Дефиниција: Низ (аn), n ∈ N је:
а) монотоно растући ( респективно: монотоно неопадајући) ако за свако n ∈ N важи аn < аn+1 ( респективно ако је аn ≤ аn+1 )
б) монотоно опадајући ( респективно: монотоно нерастући) ако за свако n ∈ N важи аn > аn+1 ( респективно ако је аn ≥ аn+1).
Низ је монотон ако је монотоно неопадајући или монотоно нерастући.
Теорема: монотоно неопадајући ( респективно нерастући ) низ ограничен са горње ( респективно са доње ) стране је конвергентан.
Пример: Показати да је низ (аn), n ∈ N:
a_n = (1+ \frac{1}{n})^n
а) растући
б) ограничен са горње стране.
Решење:
а) Да би се показало да је низ (аn), n ∈ N растући, упоређују се аn и аn + 1 :
$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{(1 + \frac{1}{n+1})^n} = {(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n+1}})}^n \cdot \frac{1}{\frac{n+2}{n+1}}= \frac{1}{(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})^n} \cdot \frac{n+1}{n+2}$$
На основу Бернулијеве неједнакости: ( 1 + h )n ≥ 1+nh, h > -1, n ∈ N даље важи:
\newline (\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})^n = (1- \frac{1}{(n+1)^2})^n \geq 1- \frac{n}{(n+1)^2}
\newline \frac{a_n}{a_{n+1}} \leq \frac{1}{1-\frac{n}{(n+1)^2}} \cdot \frac{n+1}{n+2} = \frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3+3n^2+3n+2} < 1
б) На основу биномне формуле:
\newline (a + b)^n = \sum_{i=1}^{n} {n \choose k} a^kb^{n-k}
\newline
je:
\newline (1 + \frac{1}{n})^n = 1+ 1+ \frac{n(n-1)}{2!n^2}+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3} + \ldots + \frac{n(n-1)(n-2) \ldots (n(n-1))}{n!n^n} < 1 +1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \ldots + \frac{1}{n!} < 1+ 1 +\frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} + \ldots +\frac{1}{2^(n-1)} = 1 + \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}} < 1+ 2=3
На основу претходне теореме следи да овај низ конвергира и његова граница је ирационалан број
познат још и као Ојлеров број и Неперова константа.