Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
• Дефиниција »
• Кошијеви низови »
• Особине »
• Монотони низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Особине граничне вредности низа
• Теорема: Ако су (an), n ∈ N и (bn), n ∈ N конвергентни низови и ако постоји n0 ∈ N са особином:
(\forall n \in \mathbr{N}) n > n_0 \Rightarrow a_n \leq b_n
тада важи:
\lim_{n \to \infty} a_n \leq b_n .
• Теорема: Ако за низове (an), n ∈ N и (bn), n ∈ N и (cn), n ∈ N постоји број n > n0 ∈ N са особином
n > n0 ⇒ (an) ≤ (bn) ≤ (cn),
тада важи импликација
( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n= \lim_{n \to \infty} c_n = L ) \Rightarrow (\lim_{n \to \infty} b_n = L ).
• Теорема: Ако низови (an), n ∈ N и (bn), n ∈ N конвергирају тада важи:
\newline $$\lim_{n \to \infty} ( a_n + b_n ) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n $$
\newline $$\lim_{n \to \infty} ( a_n - b_n ) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n $$
\newline $$\lim_{n \to \infty} ( a_n \cdot b_n ) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n $$
\newline $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} {a_n}} {\lim_{n \to \infty} {b_n}}$$
• Теорема: Ако је (an), n ∈ N конвергентан низ, тада важе следеће једнакости:
\newline $$\lim_{n \to \infty} (A\cdot a_n) = A \cdot \lim_{n \to \infty} a_n $$
\newline $$\lim_{n \to \infty} ( a_n)^k = (\lim_{n \to \infty} a_n)^k $$
\newline $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{ a_n} = \sqrt[k]{\lim_{n \to \infty} a_n} $$
При чему је А произвољна константа; к ∈ N, a у последњем тврђењу се ако је к паран број мора додатно претпоставити да су чланови низа (аn), n ∈ N ненегативни.
Примери: Одредити следеће граничне вредности:
\newline 1. $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^5 + 2n^2 + 4}{n^5 + n +4 }$$
\newline 2. $$\lim_{n \to \infty}(-1)^n(\frac{1}{3})^n$$
\newline 3. $$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}+ 2}{n + 8}$$
\newline 4. $$\lim_{n \to \infty}\frac{n+ \sqrt[n]{2} -1}{n - 2}$$
\newline 5. $$\lim_{n \to \infty}\frac{2n^4+3n^2-1}{n^3-2}$$
Решења:
\newline 1. $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^5 + 2n^2 + 4}{n^5 + n +4 } = \lim_{n \to \infty} \frac{n ^ 5 (1 + \frac{2}1. {n^3} + \frac{4}{n ^ 5})}{n ^ 5 (1 + \frac{1}{n ^ 4}+\frac{4}{n ^ 5})}=1$$
\newline 2. $$\lim_{n \to \infty}(-1)^n(\frac{1}{3})^n=0
\newline 3. $$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}+ 2}{n + 8} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}(1+\frac{2}{\sqrt{ n }})}{n(1+\frac{8}{n})}= 0
\newline 4. $$\lim_{n \to \infty}\frac{n+ \sqrt[n]{2} -1}{n - 2}= \lim_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{\sqrt[n]{2}}{n}- \frac{1}{n})}{n(1-\frac{2}{n})}=1
\newline 5.$$\lim_{n \to \infty}\frac{2n^4+3n^2-1}{n^3-2}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^4(2+ \frac{3}{n ^ 2} - \frac{1}{n ^ 4})}{n ^ 3 (1- \frac{2}{n ^ 3})}= +\infty $$