Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Дефиниција граничне вредности низа

Дефиниција: Низ a_n је функција чији је домен скуп природних бројева, а кодомен скуп реалних бројева, односно: а_n : N → R.
Записујемо: a_n : = a (n), n ∈ N и а = (а_n), _{n ∈ N}.
Број a_n се зове општи члан низа а.

Примери: Испитати неколико првих чланова низа датих са општим члановима:

а) a_n = 1/n
Решење: а₁ = 1,а₂ = 1/2 а₃ = 1/3…
б) b_n =(-1)ⁿ
Решење: b₁=-1, b₂=2 b₃=-3
ц) c_n = sinn
Решење: c₁= sin1, c₂ = sin2, c₃ = sin3

Дефиниција: Реалан број L је гранична вредност низа а = (а_n), _{n е N} ако за свако ε > 0 постоји n₀ = n₀ (ε) ∈ N са особином да за свако n₀ = n₀ (ε) ∈ N важи │а_n - L│ < ε, односно: Ако је L гранична вредност (граница) низа а = (а_n), _{n е N} тада кажемо да низ а = (а_n), _{n е N} конвергира ка броју L, односно:

\lim_{n \to \infty}a_n = L

Пример конвергентног низа:

За низ који не конвергира кажемо да дивергира.
Гранична вредност је јединствена.

Дефиниција: Низ а =(а_n), _{n ∈ N}.
• Дивергира у плус бесконачно, у ознаци:

\lim_{n \to \infty}a_n = + \infty

ако за сваки реалан број М>0 постоји број n₀ = n ₀(М) ∈ N такав да за свако n > n₀ важи а_n > М.
• Дивергира у минус бесконачно, у ознаци:

\lim_{n \to \infty}a_n = - \infty

ако за сваки реалан број М>0 постоји број n₀ = n ₀(М) ∈ N такав да за свако n > n₀ важи а_n < - М.

Примери:

а) а_n = n дивергира у плус бесконачно
б) а_n = qⁿ , q>1 дивергира у плус бесконачно
ц) а_n = -n², дивергира у минус бесконачно
д) а_n = (-1)ⁿ јесте дивергентан (тј. није конвергентан), али не дивергира ни у плус бесконачно ни у минус бесконачно

Дефиниција: Низ је ограничен ако постоји позитиван реалан број М такав да за свако n ∈ N важи │а_n│ ≤ М, тј.
важи а_n ∈ [-М, М]. Очигледно је да низ који дивергира у минус бесконачно или у плус бесконачно не може бити ограничен.

Теорема: Сваки конвергентан низ је ограничен.
Доказ. Нека је низ а = (а_n), _{n ∈ N} конвергентан и важи lima_n = L када n → ∞. Тада за свако ε > 0 постоји n₀(ε) ∈ N тако да је
а_n ∈ (L-ε, L+ε), за n > n₀(ε). Нека је ε утврђен позитиван број и М = маx{|L|+ε, |а₁|, |а₂|, ..., |а_n0(ε)|}. Тада важи а_n ∈ [М, -М] за све n ∈ N.

Примери:

а) Конвергентан низ са општим чланом а_n = 1/n јесте ограничен тј. │а_n│≤ 1
б) Низ са општим чланом b_n = (-1)ⁿ , јесте ограничен тј. │b_n│≤ 1 али није конвергентан
ц) Низ са општим чланом c_n= n, није ограничен и није конвергентан.