Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
• Дефиниција »
• Метода половљења »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Метода половљења
Теорема: Ако је функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b] и ако је f (a) ∙ f (b) < 0 , онда једначина f(x) = 0 има бар једно решење x ∈ (a, b).
На основу наведене теореме, једноставно налазимо решење било које нелинеарне једначине са једном непознатом облика f(x) = 0 .
Нека је f : [a,b] → R непрекидно пресликавање такво да су f (a) и f (b) различитог знака.
Ako je:
1.\qquad f(\frac{a+b}{2}) = 0 \Rightarrow c= \frac{a+b}{2}
Онда је број c решење једначине f(x) = 0 .
Ако је:
2. \qquad f(\frac{a+b}{2}) \neq 0 \Rightarrow f(a) \cdot f(\frac{a+b}{2}) < 0 \vee f(\frac{a+b}{2}) \cdot f(b) < 0
Сада бирамо онај од интервала на чијим је крајевима функција f различитог знака
.
Oзначимо га са [a1, b1].
У овом интервалу постоји бар једно решење једначине f(x) = 0 . Настављајући овај поступак добијамо низ интервала [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃... таквих да је:
b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}{(b_n - a_n)} = 0
Како је низ an, n ∈ N ограничен и монотоно неопадајући, а низ bn, n ∈ N ограничен и монотоно нерастући онда постоји c такво да је:
\newline \lim_{n \to \infty} = c = \lim_{n \to \infty} b_n
\newline (\forall n \in N) f(a_n) \cdot f(b_n) < 0 \Rightarrow f(c)^2 \leq 0 \Rightarrow f(c) = 0
Дакле, број c је решење једначине f (x) = 0 .
• Пример за илустрацију методе:
Оцена грешке методе
За оцену грешке koja настаје при апроксимацији решења c бројем an користи се неједнакост
(\forall n \in N) \qquad \lvert c - a_n \rvert < \frac{b-a}{2^n}
На основу ње се за дато ε може одредити no ∈ N тако да је c - an0 < ε и на тај начин постићи жељена тачност апроксимације решења c бројем an0.
Напомена:
Приказана метода је једноставна, али се са повећањем тачности знатно повећава обим рачунања - због чега се углавном примењује када се не захтева велика тачност или за добијање приближне вредности решења код примене других метода.
Недостатак методе је то што је њено уопштeње на вишедимензионе случајеве (тј. на системе једначина) практично немогуће.