Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Дефиниција непрекидне функције


Дефиниција: Функција f : A → R је непрекидна у тачки x0 ∈ A aко важи:
( \forall \epsilon >0) (\exists \delta >0) ( \forall x \in A) \qquad \lvert x- x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) -f(x_0) \rvert < \epsilon.
Дефиниција: Функција f : A → R је прекидна у тачки x0 ∈ A ако није непрекидна у тој тачки.
Дефиниција: Функција f : A → R је непрекидна на скупу B ⊂ А ако је непрекидна у свакој тачки скупа B .
Дефиниција: Функција f : A → R је униформно непрекидна на интервалу [a, b] ⊂ A ако важи:
( \forall \epsilon >0) (\exists \delta >0) ( \forall x_1, x_2 \in [a, b] ) \qquad \lvert x_1 - x_2 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x_1) - f(x_2) \rvert < \epsilon.

Теорема: Ако су функције f и g непрекидне у тачки x0, тада су у тој тачки непрекидне и функције:
• збир f + g
• разлика f - g
• производ f g
• количник f / g (ако је g(x0) ≠ 0)
• композиција f ∙ g .

Основне елементарне функције су непрекидне на свом целом дефиниционом скупу, а на основу претходне теореме су и елементарне функције непрекидне на свом природном дефиниционом скупу.

Теорема: (Вајерштрасова теорема о ограничености непрекидне функције) Непрекидна функција на затвореном и ограниченом интервалу достиже свој максимум и минимум.

То значи да ако је f : [a, b] → R непрекидна функција постоји xmin ∈ [a, b] тако да је f (xmin) ≤ f (x) за све x ∈ [a, b] и постоји xmax ∈ [a, b] тако да је f (xmax) ≥ f (x) за све x ∈ [a, b].

Слика 4.1 Илустрација Вајерштрасове теореме


Теорема: (Болцано - Кошијева теорема о међувредности) Ако је функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b] и ако је f (a) ≠ f (b) , тада она узима све вредности између f (a) и
f (b) у интервалу [a, b].


То значи да ако је f (a) < c < f (b) или f (a) > c > f (b) постоји x ∈ (a, b) такво да је f (x) = c . У случају да су f (a) и f (b) различитог знака, тада постоји x ∈ (a, b) такво да је f (x) = 0.

Слика 4.2 Илустрација Болцано - Кошијеве теореме


Врсте прекида функције

Ако функција f није непрекидна у некој тачки x0 А, каже се да функција има прекид у тој тачки и то:

привидан прекид, ako постоји:
\lim_{x \to x_0} f(x) = L \qquad L \neq f(x_0)

прекид прве врсте, ako постоје:
\lim_{x \to x_{0+}} f(x) = L_1 \qquad \lim_{x \to x_{0-}} f(x) = L_2 \qquad L_1 \neq L_2

прекид друге врсте, ако није ни привидан прекид ни прекид прве врсте.