Interpolacioni polinom Lagranž

   Pretpostavimo da smo na neki način npr. merenjem dobili $n$ tačaka u ravni: $T_1(x_1, y_1), T_2(x_2, y_2), ... , T_n(x_n, y_n)$ koje smo unelu u koordinatni sistem. U međutačkama $x$, tj. u tačkama između $x_1$ i $x_2$,$x_2$ i $x_3$,... ne znamo vrednost funkcije, jer nismo vršili merenja. Postavlja se pitanje koje ćemo vrednosti uzeti u tim međutačkama.

   Kroz $n$ tačaka može da prolazi bezbroj krivih, ali znamo da je sa $n$ tačaka jednoznačno određen polinom $(n -1)$-nog stepena. Da bi smo problem rešili, zamislimo da kroz $n$-tačaka prolazi grafik polinoma $(n -1)$-nog stepena pa ćemo u međutačkama umesto vrednosti funkcije koje nam u tim tačkama nisu poznate, uzimati vrednost polinoma $P_{n-1}$. Taj postupak se naziva interpolacija.

  Ako smo uzeli dve tačke $T_1(x_1, y_1)$ i $T_2(x_2, y_2)$ sa dve tačke je jednoznačno određen polinom $i$-og stepena $P_1(x)$, a to je prava. Jednačina prave kroz dve tačke je: $y-y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)$
$y = P_1(x) =y_1 \frac{x - x_1}{x_1 - x_2} + y_2 \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $.

   Ako su nam poznate tri tačke $ P_3(x)= y_1 \frac{{(x - x_2)} {(x - x_3)} }{{(x_1 - x_2)} {(x_1 - x_3)}} + y_2 \frac{{(x - x_1)} {(x - x_3)} }{{(x_2 - x_1)} {(x_2 - x_3)}} + y_3 \frac{{(x - x_1)} {(x - x_2)} }{{(x_3 - x_2)} {(x_3 - x_2)}} $ Za $n$-tačaka vršimo interpolaciju pomoću $P_{n-1}(x)$.

$ P_{n-1}(x)= y_1 \frac{{(x - x_2)}{...} {(x - x_n)} }{{(x_1 - x_2)}{...} {(x_1 - x_3)}} + y_2 \frac{{(x - x_1)}{(x - x_3)}{...} {(x - x_n)} }{{(x_2 - x_1)} {(x_2 - x_3)}{...}{(x_2 - x_n)} } + ...+ y_n \frac{{(x - x_1)}{...} {(x - x_{n-1})} }{{(x_n - x_1)} {(x_n - x_2)}{...}{(x_n - x_{n-1})}} $

Lagranžova interpolaciona formula

  Aproksimirajući zadatu funkciju $f(x)$ u intervalu od $x_1$ do $x_n$ pravimo grešku $R(x)$ koju ne možemo izračunati, već smao oceniti : $ R(x)= \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ $x_1< \xi x_n , \xi$ neodređen.

   Primer. Sastaviti polinom koji prolazi kroz tačke koje su zadate :
\begin{array}{|c|c|c|} x_i & -1& 0 & y1 \\ \hline y_i & 2& 1&{\frac{1}{2}}\\ \end{array}
$P_2(x)= 2\frac{{x(x - 1)}}{{(-1)( -2)}} + 1 \frac{{(x+1)(x-1)}}{ {1(-1)}} + \frac{1}{2} \frac{{(x+1)x}}{2\cdot1} $ $\Rightarrow y= P_2 (x)= \frac{1}{4}x^2 -\frac{3}{4}x +1$