Nule polinoma

   Nula(koren) polinoma $P_n(x)$ je ona vrednost nezavisne promenljive $x$ za koju je $P_n(x)=0$.

   Osnovni stav algebre: Svaki polinom stepena $n$ ima $n$ nula realnih ili kompleksnih ako ih brojimo prema njihovoj višestrukosti. Rastavljeni polinom ima sledeći oblik:
$P_n(x) = a_n(x - x_1)( x- x_2)...(x-x_n)(x^2 + a_1 x + b_1)...(x^2 + a_s x + b_s)$ i $a_i + 4b_i <0$

   Primer 1. Polinom $P(x)= 2{(x-1)}^2 x$ ima tri nule i to za $x=1$ dvostruku i $x=0$ jednostruku nulu.
   Primer 2. Polinom $P(x)= 2x^2 + 7x +50 $ nema nule u skupu $R$, ali ima nula u skupu $C$.

Racionalne nule polinoma

$P_2(x) = (x - x_1)( x- x_2)= x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
$P_3(x) = (x - x_1)( x- x_2)(x-x_3)= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3) - x_1x_2x_3 $
Za polinom $P_2(x)$ nule su $x_1$ i $x_2$, a za polinom $P_3(x)$ nule su $x_1$, $x_2$ i $x_3$.

   Primećujemo da poslednji član sadrži proizvod mogućih nula. Da li polinom $P(x)= x^3 + 7x +15$ može imati nulu $x=4$. Odgovor je ne, jer 15 deljivo sa 4, a $x=3$ može, ali ne mora.

   Teorema. Neka je dat polinom $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ , ( $a_0 \ne 0$ i $a_n \ne 0$ ), racionalni broj $\frac{p}{q}$ je moguća nula polinoma $P_n(x)$ ako $q$ deli a_n, a $p$ deli $a_0$ tj. ( $\frac{p}{a_0}$ i $\frac{q}{a_n}$).

   Racionalni broj $\frac{p}{q} $ može biti i višestruka nula.