Kramerovo pravilo

    Rešenje sistema od $n$ jednačina sa $n$ nepoznatih:

$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 $
$ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 $
$ \vdots $
$ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n $,

gde je $D$ determinanta sistema i $D \ne 0$,


$D = \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& ...& & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ...& & a_{2n} \\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $

pomoću Kramerovog pravila formira se na sledeći način:

$ x_1 =\frac {D_{x_1}}{D}, x_2 =\frac {D_{x_2}}{D}, ... , x_n =\frac {D_{x_n}}{D}. $

    Determinante $D_x, i= 1,2,...,n$ , formiraju se tako što se u determinanti sistema $D$ $i$-te kolone zameni kolonom koju čine slobodni članovi. Tako dobijamo da je :

$D_{x_1} = \begin{vmatrix} b_1& a_{12}& ...& & a_{1n} \\ b_2& a_{22}& ...& & a_{2n} \\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ b_n& a_{n2}& ...& & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $ , ... , $D_{x_n} = \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& ...& & b_1 \\ a_{21}& a_{22}& ...& & b_2 \\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& & b_n \\ \end{vmatrix} $

    Dokaz. Pokazaćemo da je $ x_1 D= D_{x_1}$, a analogno se pokazuje da je i za sve $i=1,2, ..., n$ $ x_1 D= D_{x_1}$.
S` obzirom na osobine determinante imamo da je:

$ x_1 D = \begin{vmatrix} a_{11}x_1 & a_{12}& ...& & a_{1n} \\ a_{21}x_1 & a_{22}& ...& & a_{2n} \\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ . & ...&& .\\ a_{n1}x_1& a_{n2}& ...& & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $

   Pomnožimo sada drugu, treću ,..., i poslednju kolonu redom sa $x_1, x_2, ... , x_n$ i tako dobijane kolone dodamo prvoj koloni redom jednak $b_1, b_2, ... , b_n $.

Diskusija sistema linearnih jednačina

    Posmatrajmo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate ( n = 2):

$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1     \big / a_{22} $
$ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2     / ( -a_{12})$
__________________________________

$ a_{11}a_{22}x_1 + a_{12}a_{22}x_2 = $     $b_1a_{22} $
$ - a_{12}a_{21}x_1 -a_{12}a_{22}x_2 = -a_{12} b_2 $
__________________________________

$ (a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21} ) x_1= b_1a_{22} -a_{12} b_2 $

$ x_1 = \frac{b_1a_{22} -a_{12} b_2 }{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} = \frac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \\ \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} } = \frac {D_{x_1}}{D_s} $



$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1     \big / ( - a_{12} ) $
$ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2     / a_{11}$
__________________________________

$ - a_{11}a_{21}x_1 - a_{12}a_{21}x_2 = - b_1a_{12} $
$ a_{11}a_{21}x_1 + a_{11}a_{22}x_2 = a_{11} b_2 $
__________________________________

$ (a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21} ) x_2 = a_{11} b_2 - b_1a_{12} $

$ x_ 2= \frac{a_{11}b_2 - b_1a_{21} }{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} = \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \\ \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} } = \frac {D_{x_2}}{D_s} $.


    Posmatraći sistem od tri jednačine na osnovu $x_i D = D_{x_i}$ imamo da je $ xD= D_x, y D= D_y,, zD = D_z (*) $ . Odavde sledi:

• Sistem je određen , odnosno ima jedinstveno rešenje ako je $D \ne 0$.
• Ako je $D=0$, tada :
  • ako je $ (D_x \ne 0 ) ∧ (D_y \ne 0 ) ∧ (D_z \ne 0 ) $ sistem je protivrečan , jer iz (*) sledi da je tada $0 \ne 0$;
  • ako je $ (D_x = 0 ) ∧ (D_y = 0 ) ∧ (D_z = 0 ) $ sistem može da ima beskonačno mnogo rešenja
  • sistem može da bude i protivrežan , što rešava naknadna analiza primenom Gausovog algoritma.