Primeri

Primer 1.   Naći rešenja sledećeg sistema linearnih jednačina:

$2 x_1 + 2x_3 = -2$

$4x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$

$3x_1 + x_2 - x_3 = 5$

Rešenje:   Vrednost determinante sistema je:

$D = \begin{vmatrix} 2& 0& 2 \\ 4& 1& 2 \\ 3& 1& -1 \\ \end{vmatrix} =-4 $

pa sistem po Kramerovoj teoremi ima jedinstveno rešenje.

Nađimo determinante $D_{x_1}$, $D_{x_2}$ i $D_{x_3}$.

$ D_{x_1} = \begin{vmatrix} -2& 0& 2 \\ 0& 1& 2 \\ 5& 1& -1 \\ \end{vmatrix} =-4 $

$ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2& -2& 2 \\ 4& 0& 2 \\ 3& 5& -1 \\ \end{vmatrix} =0 $

$ D_{x_3}= \begin{vmatrix} 2& 0& -2 \\ 4& 1& 0 \\ 3& 1& 5 \\ \end{vmatrix} =8 $

Nađimo sada jedinstveno rešenje sistema, odnosno vrednosti za nepoznate $x_1, x_2$ i $ x_3$ po Kramerovoj teoremi za
$ D $≠ 0. Odnosno:
$x_1= \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{-4}{-4}=1 $

$x_2= \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{0}{-4}=0 $

$x_3= \frac{D_{x_3}}{D} = \frac{8}{-4}=-2 $



Primer 2.  Naći rešenja sledećeg sistema linearnih jednačina:

$x_1 + x_2 - x_3 = 1$

$2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 1$

$x_1 - x_2 + x_3 = 1$

Rešenje:  Determinanta sistema je:

$ D = \begin{vmatrix} 1& 1& -1 \\ 2& 2& -2 \\ 1& -1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti protivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja).

Pogledajmo da li je neka od determinanti $D_{x_1}$, $D_{x_2}$ i $D_{x_3}$ različita od nule. Kako je:

$ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 1& 1& -2\\ 1& 2& -2 \\ 1& -1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

$ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 1& 1& -1 \\ 2& 1& -2 \\ 1& 1& 1 \\ \end{vmatrix} =-2 $
odnosno $D_{x_2} $ ≠0, pa po Kramerovoj teoremi zaključujemo da je ovaj sistem protivurečan, odnosno da nema rešenja.


Primer 3.  Odredi rešenja sledećeg sistema linearnih jednačina:

$x_1 + x_2 - x_3 = 1$

$2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2$

$x_1 - x_2 + x_3 = 1$

Rešenje:   Determinanta sistema je:

$ D = \begin{vmatrix} 1& 1& -1 \\ 2& 2& -2 \\ 1& -1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti protivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja).

Pogledajmo da li je neka od determinanti $D_{x_1}$, $D_{x_2}$ i $D_{x_3}$ različita od nule. Kako je:

$ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 1& 1& -2\\ 2& 2& -2 \\ 1& -1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

$ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 1& 1& -1 \\ 2& 2& -2 \\ 1& 1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

$ D_{x_3} = \begin{vmatrix} 1& 1& 1 \\ 2& 2& 2 \\ 1& -1& 1 \\ \end{vmatrix} =0 $

odnosno $D= D_{x_1}= D_{x_2}=D_{x_3}=0 $, ispitivanje postojanja rešenja ispitujemo preko odnosa ranga matrice sistema $r(A)$ i ranga proširene matrice sistema $r(A’)$. Kako je:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -2\\ 1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}$

sledi da je $r(A)<3$ , jer je $det A=D=0$.

Očigledno je da za determinantu podmatrice matrica $A$ određenu koeficijentima važi:

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ ≠ 0 pa je $r(A)=2$.

S` druge strane proširena matrica $A’$ je:


$A` = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 1& 1\\ \end{bmatrix}$

Sve njene determinante trećeg reda su jednake nuli, (to su u stvari determinante $D= D_{x_1}= D_{x_2}=D_{x_3}=0 $ ), pa je i njen rang $r(A’)=2$ ova matrica takođe sadrži determinantu:

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ ≠ 0

Sada, kako je $r(A)=r(A’)=2$ po Kramerovoj teoremi sistem je neodređen i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve vezane nepoznate, koje određuju determinanta sistema po kojoj smo odredili rang, a treća nepoznata postaje slobodna nepoznata i prebacuje se u kolonu slobodnih članova. Tako da se sistem svodi na:

$x_1 + x_2 = 1 + x_3 $
$x_1 - x_2 = 1 - x_3$

Ovaj sistem možemo rešiti na bilo koji način, recimo Kramerovim pravilom.Determinante ovog sistema su:

$ D = \begin{vmatrix} 1& 1& \\ 1& -1& \\ \end{vmatrix} =-2 $

$ D_{x_1} = \begin{vmatrix} (1+x_3) & 1& \\ (1-x_3)& -1& \\ \end{vmatrix} =-2 $

$ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 1& (1+x_3)& \\ 1& (1-x_3)&\\ \end{vmatrix} = -2 x_3 $

Dakle, ovaj sistem jednačina je neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja određenih sa:

$x_1= \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{-2}{-2}=1 $

$x_2= \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{-2z}{-2}= x_3 $

$x_3= $bilo koji broj .