Диференцијалне једначине које се решавају параметризацијом - примери
Пример 1. Наћи опште решење диференцијалне једначине:
$x=(y')^2+2$
За решавање ове једначине користићемо параметризацију. Како је дата једначина записана у облику $x=\varphi(y')$, у питању је 1.случај решавања диференцијалнe једначинe увођењем параметара. Нека је $y'=p$, где је $p$ параметар. Тада је $$x=p^2+2\quad \Rightarrow \quad dx=2pdp.$$ Како је $\frac{\displaystyle{dy}}{\displaystyle{dx}}=p$ добијамо да је $$dy=pdx=2p^2dp,$$ што након интеграције даје $$y=\int{2p^2dp}=\frac{2}{3}p^3+C,\quad C\in \mathbf{R}.$$ Дакле, опште решење дате једначине у параметарском облику је $$x=p^2+2$$ $$y=\frac{2}{3}p^3+C.$$
- Илустрацију решења полазне једначине даје следећи аплет
Пример 2. Одредити решење диференцијалне једначине:
$y=(y')^3+\ln {(y')^2}$
Као и у претходном примеру, и овде ћемо користити параметризацију. Како је дата једначина записана у облику $y=\varphi(y')$, у питању је 2.случај решавања диференцијалнe једначинe увођењем параметара.
Нека је $y'=p$, где је $p$ параметар. Тада је
$$y=p^3+\ln {p^2},$$
што после диференцирања даје
$$dy=\Big(3p^2+\frac{2}{p}\Big)dp,\quad (p\neq 0)$$
Како је $\frac{\displaystyle{dy}}{\displaystyle{dx}}=p$ добијамо да је
$$dx=\frac{dy}{p}\quad \Rightarrow \quad dx=\Big(3p+\frac{2}{p^2})dp,$$
што након интеграције даје
$$x=\int{\Big(3p+\frac{2}{p^2})dp}=\frac{3p^2}{2}-\frac{2}{p}+C,\quad C\in \mathbf{R}.$$
Дакле, опште решење дате једначине у параметарском облику је
$$x=\frac{3p^2}{2}-\frac{2}{p}+C$$
$$y=p^3+\ln {p^2}.$$
Илустрација партикуларних решења у параметарском облику за неке вредности константе $C$
Затвори решење.
Илустрација партикуларних решења у параметарском облику за неке вредности константе $C$
Пример 3. Решити диференцијалну једначину:
$y=(1 + y')x+(y')^2$
Дата једначина је Лагранжова и може се записати у облику
$$y=(1+p)x+p^2$$
где је $y'=p$ и $dy=pdx$.
Када диференцирамо једначину $y=(1+p)x+p^2$ имаћемо
$$dy=(1+p)dx+xdp+2pdp$$
$$\Leftrightarrow \quad pdx=(1+p)dx+(x+2p)dp$$
$$\Leftrightarrow \quad -dx=(x+2p)dp$$
$$\Leftrightarrow \quad -\frac{dx}{dp}=x+2p.$$
Добили смо линеарну диференцијалну једначину по $x=x(p)$:
$$x'+x=-2p.$$
Имамо да је $$P(p)=1\ , \ Q(p)=-2p.$$ Нека је $$I_1=\int{P(p)dp}=\int{dp}=p$$ $$I_2=\int{Q(p) e^{\int{P(p)dp}}dp}=-2\int{p e^{\ p} dp}=\Bigg\{ u=p,\ du=dp;\ \ dv=e^{ \ p} dp,\ v=e^{\ p}\Bigg\}=$$ $$=-2p e^{ \ p}+2\int{e^{\ p} dp}=2e^{\ p}-2p e^{\ p}.$$ Тада је опште решење облика $$x=e^{-p}(C+2e^{\ p}-2pe^{\ p})$$ $$\Leftrightarrow \quad x=Ce^{-p}-2p+2.$$
Затвори.
ове једначине добијамо да је
$$x=C e^{-p}-2p+2.$$
Заменом $x$ у полазну једначину добијамо
$$y=(1+p)(C e^{-p}-2p+2)+p^2$$
$$\Leftrightarrow \quad y=C e^{-p}(1+p)-p^2+2.$$
Дакле, опште решење дате једначине у параметарском облику је
$$x=C e^{-p}-2p+2$$
$$y=C e^{-p}(1+p)-p^2+2.$$
$p-(1+p)=-1 \neq 0$, то не постоји сингуларно решење дате диференцијалне једначине.
Затвори решење.
Имамо да је $$P(p)=1\ , \ Q(p)=-2p.$$ Нека је $$I_1=\int{P(p)dp}=\int{dp}=p$$ $$I_2=\int{Q(p) e^{\int{P(p)dp}}dp}=-2\int{p e^{\ p} dp}=\Bigg\{ u=p,\ du=dp;\ \ dv=e^{ \ p} dp,\ v=e^{\ p}\Bigg\}=$$ $$=-2p e^{ \ p}+2\int{e^{\ p} dp}=2e^{\ p}-2p e^{\ p}.$$ Тада је опште решење облика $$x=e^{-p}(C+2e^{\ p}-2pe^{\ p})$$ $$\Leftrightarrow \quad x=Ce^{-p}-2p+2.$$
Пример 4. Наћи општe решењe следећe диференцијалнe једначинe:
$ y=2xy'-4(y')^3$
Дата једначина је Лагранжова и може се записати у облику
$$y=2xp-4p^3$$
где је $y'=p$ и $dy=pdx$.
Када диференцирамо једначину $y=2xp-4p^3$ имаћемо
$$dy=pdx=2pdx+2xdp-12p^2dp$$
$$\Leftrightarrow \quad -pdx=2(x-6p^2)dp$$
$$\Leftrightarrow \quad -\frac{dx}{dp}=\frac{2}{p}(x-6p^2)$$
Добили смо линеарну диференцијалну једначину по $x=x(p)$:
$$x'+\frac{2}{p}x=12p.$$
Имамо да је
$$P(p)=\frac{2}{p}\ , \ Q(p)=12p.$$
Нека је
$$I_1=\int{P(p)dp}=\int{\frac{2}{p}dp}=2\ln |p|=\ln p^2$$
$$I_2=\int{Q(p) e^{\int{P(p)dp}}dp}=12\int{p e^{\ln p^2} dp}=12\int{p^3dp}=12\frac{p^4}{4}=3p^4.$$
Тада је опште решење облика
$$x=e^{-\ln p^2}(C+3p^4)$$
$$\Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{p^2}(C+3p^4)$$
$$\Leftrightarrow \quad x=\frac{C}{p^2}+3p^2.$$
Сада када заменимо $x$ у полазну једначину добијамо да је
$$y=2p\bigg(\frac{C}{p^2}+3p^2\bigg)-4p^3$$
$$\Leftrightarrow \quad y=\frac{2C}{p}+2p^3.$$
Дакле, опште решење дате диференцијалне једначине у параметарском облику је
$$x=\frac{C}{p^2}+3p^2$$
$$y=\frac{2C}{p}+2p^3.$$
Затвори решење.
- Графички приказ једног партикуларног решења за $C=1$
Пример 5. Наћи општe и сингуларно решењe следећe диференцијалнe једначинe:
$ y=xy'+y'-(y')^2$
Дата диференцијална једначина је Клероова, па се може записати у облику
$$y=xp+p-p^2$$
где је $p$ параметар и $y'=p\quad \Rightarrow\quad \frac{\displaystyle{dy}}{\displaystyle{dx}}=p$.
Диференцирањем полазне једначине по $x$ добијамо
$$\frac{dy}{dx}=p=p+x\frac{dp}{dx}+(1-2p)\frac{dp}{dx}$$
$$\Leftrightarrow \quad (x+1-2p)\frac{dp}{dx}=0$$
Из ове једначине, ако је
$$\frac{dp}{dx}=0\quad \Rightarrow p=C$$
добијамо да је опште решење Клероове диференцијалне једначине облика
$$y=Cx+C-C^2.$$
Сингуларно решење се добија из услова $x+1-2p=0$. Тада је
$$p=\psi(x)=\frac{x+1}{2},$$
па када заменимо у полазну једначину, након сређивања, добијамо сингуларно решење облика
$$y=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}.$$
- Графички приказ решења полазне једначине
Пример 6. Решити диференцијалну једначину:
$ (y')^3-y^4(y+xy')=0$
Да бисмо решили ову диференцијалну једначину увешћемо смену
$$y=\frac{1}{z},\quad z=z(x),\quad z \neq 0$$
Диференцирањем по $x$ имаћемо да је $y'=-\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{z^2}}\cdot z'$
Заменом у полазну једначину добијамо следеће
$$-\frac{{z'}^3}{z^6}- \frac{1}{z^4}(\frac{1}{z}-x\frac{z'}{z^2})=0$$
$$\Leftrightarrow \quad -\frac{{z'}^3}{z^6}- \frac{1}{z^5}+\frac{xz'}{z^6}=0\quad \bigg / \cdot (z^6)$$
$$\Leftrightarrow \quad -(z')^3- z+xz'=0$$
$$\Leftrightarrow \quad z=xz'-(z')^3=0.$$
Добили смо Клероову диференцијалну једначину, па се може записати у облику
$$z=xp-p^3$$
где је $p$ параметар и $z'=p\quad \Rightarrow\quad \frac{\displaystyle{dz}}{\displaystyle{dx}}=p$.
Диференцирањем Клероове једначине по $x$ добијамо
$$\frac{dz}{dx}=p=p+x\frac{dp}{dx}-3p^2\frac{dp}{dx}$$
$$\Leftrightarrow \quad (x-3p^2)\frac{dp}{dx}=0$$
Из ове једначине, ако је
$$\frac{dp}{dx}=0\quad \Rightarrow p=C$$
добијамо да је опште решење Клероове диференцијалне једначине облика
$$z=Cx-C^3,$$
$$\frac{1}{y}=Cx-C^3$$
$$\Leftrightarrow \quad y=\frac{1}{Cx-C^3}\ ,\ C\in \mathbf{R}\backslash\{0\}.$$
Сингуларно решење се добија из услова $x-3p^2=0$. Тада је
$$p=\psi(x)=\sqrt{\frac{x}{3}},$$
па када заменимо у полазну једначину, добијамо
$$\frac{1}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{3}}-\frac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{3}}$$
$$\Leftrightarrow \quad \frac{1}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{3}}(1-\frac{1}{3})$$
$$\Leftrightarrow \quad \frac{1}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3}\quad \bigg / \ ^2$$
$$\Leftrightarrow \quad \frac{1}{y^2}=\frac{4x^3}{27}$$
Дакле, добили смо сингуларно решење дате диференцијалне једначине
$$4x^3y^2-27=0.$$
Затвори решење.
- Илустрација решења дате једначине