Диференцијалне једначине I реда које се решавају параметризацијом
Увођење параметара
Поступак решавања диференцијалне једначине $F(x,y,y')=0$ је релативно једноставан када се она може експлицитно решити по $y'$. Када то није могуће приступа се параметризацији.
Посматраћемо неколико посебних случајева диференцијалне једначине првог реда $F(x,y,y')=0,$ а које се решавају увођењем параметара.
1) Нека је једначина $F(x,y,y')=0$ облика $$F(x,y')=0,$$ и нека се може записати као $x=\varphi(y')$. Ако уведемо параметар $y'=p$ тада је $dy=pdx$ и $$x=\varphi(p),\quad dx=\varphi'(p)dp,$$ тада je $dy=p\varphi'(p)dp$, па се општи облик решења једначине $F(x,y')=0$ у параметарску облику може записати као
$$x=\varphi(p),\quad y=\int{p\varphi'(p)dp}.$$
2) Нека је једначина $F(x,y,y')=0$ облика $$F(y,y')=0,$$ и претпоставимо да се $F(y,y')=0$ може записати као $y=\varphi(y')$. Ако уведемо параметар $y'=p$, што даје $dy=pdx$ и $$y=\varphi(p)\quad dy=\varphi'(p)dp$$ тада је $pdx=\varphi'(p)dp$, односно $dx=\frac{\displaystyle{\varphi'(p)dp}}{\displaystyle{p}}$, па се општи облик решења једначине $F(y,y')=0$ у параметарском облику може записати као
$$y=\varphi(p),\quad x=\int{\frac{\varphi'(p)dp}{p}}.$$
3) Нека је диференцијална једначина $F(x,y,y')=0$ облика $$y=g(x,y'),$$ где је $g$ дата функција. Ако ставимо $$y'=p \Rightarrow y=g(x,p),$$ што после диференцирања даје $$dy=pdx\quad \mbox{и} \quad dy=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial p}dp$$ $$\Rightarrow pdx=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial p}dp \Leftrightarrow \frac{\displaystyle{dp}}{\displaystyle{dx}}=\frac{\displaystyle{p}-\frac{\displaystyle{\partial g}}{\displaystyle{\partial x}}}{\frac{\displaystyle{\partial g}}{\displaystyle{\partial p}}}.$$ Ако се опште решење последње диференцијалне једначине означи са $$p=\varphi(x,C),$$ тада се опште решење полазне једначине $y=g(x,y')$ може записати
$$y=g\big(x,\varphi(x,C)\big).$$
4) Нека је диференцијална једначина $F(x,y,y')=0$ облика $$x=g(y,y'),$$ где је $g$ дата функција. Ако уведемо смену $y'=p$ тада се после диференцирања једначина $x=g(y,y')$ своди на $$dx=\frac{dy}{p}=\frac{\partial g}{\partial y}dy+\frac{\partial g}{\partial p}dp \Leftrightarrow \frac{\displaystyle{dp}}{\displaystyle{dy}}=\frac{\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{p}}-\frac{\displaystyle{\partial g}}{\displaystyle{\partial y}}}{\frac{\displaystyle{\partial g}}{\displaystyle{\partial p}}}.$$ Ако се опште решење последње једначине означи са $p=\psi(y,C),$ тада се опште решење полазне једначине $x=g(y,y')$ може записати у облику
$$x=g\big(y,\psi(y,C)\big).$$