Kvadratna funkcija
$ax^{2}+ bx + c = 0$,
sa vodećim koeficijentom $a \neq 0$, ima dva korena, koja mogu biti realna (ista ili različita) ili kompleksna. Rešenja kvadratne funkcije možemo dobiti iz formule:
$x_{1,2}= (-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}) / 2a$,
Pored četiri aritmetičke operacije, formula uključuje kvadratni koren. Izraz ispod korena, $D = b^{2} - 4ac$, poznatiji kao diskriminanta, može biti pozitivan, nula ili negativan. Shodno tome, jednačina može imati dva realna i različita korena, dva jednaka realna korena, ili dva konjugovano kompleksna korena. Aplet omogućava da eksperimentišete promenom koeficijenata polinoma prevlačenjem tri klizača u desnom gornjem uglu apleta.
Grafik kvadratne funkcije je parabola, okrenuta naviše ako je ili naniže, ako je .
Posmatraj na grafiku ponašanje korena kvadratne funkcije kada menjate druga dva koeficijenta, b i c. Ako su realni, oni leže na x-osi simetrično u odnosu na vertikalne linije kroz ekstremnu tačku parabole. Ako su kompleksni, oni jednostavno leže na toj liniji simetrično u odnosu na x-osu.
Ako su $x_{1}$ i $x_{2}$ rešenja kvadratnog polinoma $P (x)$, polinom možemo zapisati kao:
$P(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})$
jer su obe strane identiteta kvadratni polinomi i imaju iste vodeće koeficijente. Odatle dobijamo:
$ax^{2} + bx + c = ax^{2} - a(x_{1} + x_{2})x + ax_{1}x_{2}$
što podrazumeva jednakost koeficijenata
$b = - a(x_{1} + x_{2})$ i
$c = x_{1}x_{2}$.
Mi na taj način koristimo teoreme Franois Viete (1540 - 1603) za kvadratne jednačine:
$x_{1} + x_{2} = - b / a$ i
$x_{1}x_{2} = c / a$
koje su poznatije kao Vijetove formule. Ovo nam govori nešto o tome kako se koreni polinoma menjaju kada su a i c konstantni.
Interesantan slučaj je kada je ac > 0. To je onda, kada diskriminanta može da postane negativna i dovede do kompleksnih korena. Ako su koreni na početku realni onda, kako se b menja, koreni se kreću u suprotnim pravcima zajedno sa x-osom. Kada se približavaju jedan drugom, u jednom trenutku se poklope, a onda postanu ponovo kompleksni sve dok se ponovo ne susretnu i postanu realni još jednom. Ono što je interesantno su njihove putanje, dok su kompleksni. Budući da su kompleksni koreni kvadratnog polinoma sa realnim koeficijentima konjugovani, recimo $x = \alpha \pm i \beta$, njihov proizvod je jednak zbiru kvadrata modula:
$(\alpha + i \beta)(\alpha - i \beta) = \alpha^{2} + \beta^{2}$
tako da modul korena ostaje konstantan i jednak je $\sqrt{c/a}$. To znači da kompleksna rešenja izlaze iz kruga tog poluprečnika sa centrom u koordinatnom početku!
Kada se c menja, ponašanje grafika je manje interesantno: on se samo pomera gore za pozitivne promene c i dole za negativne promene. Ali, ako počnete tako, što vam se grafik nalazi u gornjem delu sa dva realna korena i dalje povećavate c, onda u nekom trenutku, naime, za vrednost c, za koju je $ax^{2} + bx + c$ potpun kvadrat, grafikon će postati tangenta na x-osu što znači da jednačina ima dva jednaka (i nužno realna) korena. Nakon toga, rešenja se dele u konjugovani par.